им так называемые линии равной прибыли. Это прямые линии, отображающие целевую функцию, где каждая точка на линии представляет одинаковое значение целевой функции. Рассмотрим возможность приравнивания целевой функции, скажем, к 0,021. Целевая функция 0,03 Wa + 0,07 Wb = 0,021 дает нам линию равной прибыли, состоящую из точек, представляющих портфели (веса Wa, Wb щ следовательно, IVC) при цели 0,021. Это отражает доход по портфелю в размере 0,101, потому что мы добавляем 0,08, относящиеся к активу С.

Данная линия проведена на диаграмме и можно увидеть, что некоторые точки на ней попадают в область возможных решений, показывая, что этот доход достижим.

Можно ли добиться большего? Например, можем ли мы достичь целевого значения 0,042 (т.е. доходности портфеля 12,2%, учитывая постоянную 0,08, которая снова прибавлена)?

В обоих случаях линии содержат точки в рамках области возможных решений, так что оба уровня доходов возможны. Можно этот подход далее развить, пока линия равной прибыли, удаляясь от начала координат, не будет касаться лишь точки на границе области возможных решений. Оптимальная комбинация будет представлена той точкой, на которой линия равной прибыли отстоит дальше всего от начала координат, но все еще находится в области возможных решений. В рассматриваемом примере это точка М.

Так как точка М лежит на обеих линиях ограничений, мы можем найти координаты этой точки, решив систему уравнений для двух ограничений

К + Wb = 1 0,1 + 0,3 = 0,2. (9.16)

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Сначала умножим второе уравнение на 10, тогда

Wa + Wb = 1

и/,+ ЗИ/6 = 2. Вычитая первое из второго, получаем

2Wb= 1,

значит,

Wb = 0,5.

(9.17)

(9.18) (9.19)

Подставляя это значение в уравнение (9.16), получаем Wa = 0,5.

Таким образом, мы получили Wa = 0,5 и W,\, = 0,5, а целевое значение составляет 0,03x0,5 + 0,07x0,5 = 0,05, и, если мы добавим постоянную 0,08, то получим 0,13, или 13%.

В реальных условиях необязательно строить эти линии равной прибыли . Тот факт, что они существуют и что они прямые и параллельны друг другу, показывает, что наилучшее решение всегда располагается в вершине (на пересечении двух линий) в области возможных решений. Следовательно, все, что требуется, - это проверить вершины, сужая таким образом задачу до дискретной.

Проверка вершин включает, как было сказано выше, решение систем уравнений. Для двух измерений вершины находятся на пересечении двух линий, и существуют два уравнения с двумя неизвестными. Для трех измерений вершины располагаются там, где пересекаются плоскости, давая три уравнения с тремя неизвестными.

Если бы у нас было 200 переменных, существовало бы 200 уравнений с 200 неизвестными. Задача стала бы черезвычайно трудной. Следовательно, необходим эффективный алгоритм, организующий проверку как можно меньшего числа вершин. Для этого используется симплексный алгоритм. Компьютерные версии этого алгоритма очень эффективны и могут скрупулезно и эффективно решать задачи, включающие сотни переменных и ограничений.

Симплексный метод

Симплексный метод - это итерационный процесс, который начинается с одного предварительного решения и в поисках лучшего решения движется по границе области возможных решений до тех пор, пока не достигнет оптимального решения. Чтобы увидеть, как собственно работает симплексный метод, применим его для той же портфельной задачи с тремя активами.

Симплексный метод предполагает, что все переменные имеют неотрицательное значение. Это не препятствие, поскольку переменная, которая может принимать отрицательные значения, может быть заменена разностью двух неотрицательных переменных. Например, X может иметь значение -3 при замене ее на Х\-Хъ где Х\ = 0 и Xi - +3. Пакеты прикладных программ,

включающие симплексный алгоритм, выполняют подобные действия автоматически.

Переопределим нашу целевую функцию и ограничения следующим образом:

максимизировать 4

Z= +. 0,03V + 0,07 Wb .

0,1 И/ +0,3 0,2 (9.20)

Первый шаг - преобразование неравенств в равенства с помощью дополнительных переменных, известных как свободные переменные. Так как эта задача содержит два неравенства, то нужно применить две свободные переменные. Поэтому, 0,11 + 0,310,2 преобразуется в выражение 0,1 Jf + 0,3 + s\ = 0,2, где $\ - свободная переменная. Она отражает уровень, до которого сумма 0,11 + 0,3 Wb находится ниже 0,2. Аналогично, Wa + WysX становится Wa + Wb + s2 - 1.

Таким образом, ограничения в виде неравенств преобразуются в ограничения в виде равенств следующим образом:

1. 0,1 Wa + 0,30,2 становится 0,1 Wa + 0,3 + s{ = 0,2

2. Wa + Wb<,l становится Wa + Wb + s2 = 1

Цель состоит в максимизации 0,03 Wa + 0.07 Wb.

Заметьте, что мы опустили ограничения неотрицательности, так как предполагается, что для симплексного метода переменные могут иметь только неотрицательные значения.

Одна из возможных, хотя и не оптимальная точка, определена как Wa = 0 и Wb = 0, т.е. как начало координат, потому что если ничего не инвестировалось в А и В и мы задаем s\ = 0,2 и s2 - 1, удовлетворяются оба ограничения в виде равенств. Назовем это предварительным возможным решением. Функция симплексного метода заключается в том, чтобы искать оптимальное решение посредством повторяемого движения от одного возможного решения к другому, лучшему возможному решению.

Следует отметить, что часто нелегко определить первоначальное возможное решение. Если все ограничения в виде неравенств имеют форму < , первоначальным возможным реше-