Заметьте, что и Wa и W/, теперь являются базисными и что обе свободные переменные стали небазисными.

Теперь рассмотрим целевую функцию. Она выражается как Z= 0,05-0,2s\-0,012- Однако вспомним постоянную 0,08, следовательно, реально она выражается как

максимизировать -

Z= 0,13-0,25,-0,0152

Wb + 55,-0,5.у2 = 0,5 (9.22)

Wa-Ssx + 1,5*2 = 0,5.

Но свободные переменные являются небазисными и поэтому имеют нулевые значения.

Поскольку Z= 0,13-0,25i-0,0l52 и мы имеем точку возможного решения, в которой и 5, и 52 равны нулю, лучшего не добиться - мы нашли оптимальную точку.

Нулевые значения 5, и 55 свидетельствуют, что ограничения, относящиеся к этим расхождениям/избыткам, являются жесткими . В большей задаче с большим числом ограничений значения других свободных переменных не будут ненулевыми и дадут нам уровень, до которого соответствующие ограничения ослаблены . Более того, коэффициенты 5, и 52 в целевой функции (0,2 и 0,01 соответственно) показывают нам предельную стоимость ослабления соответствующих ограничений (что часто приводит к. задействованию дополнительных ресурсов).

Однако вспомним, что первоначальной задачей было создание портфеля из трех активов - А, В и С. Решение, найденное выше, показывает, как и графическое решение, что оптимальный портфель содержит только активы А и В.

Как можно видеть, симплексный метод выражает алгебраически процесс перехода от вершины к вершине области возможных решений, где движение всегда предпринимается в направлении увеличения величины целевой функции (заметьте, что существуют случаи исключений, в которых величине целевой функции позволяется оставаться постоянной при шаге). Преимущество переключения с геометрии на алгебру состоит, конечно, в том, что алгебра действует при 200 измерениях так же, как и при двух, а графические изображения представить гораздо сложнее!

ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ ОЛЯ МИНИМИЗАЦИИ ОБШЕЙ ДИСПЕРСИИ

САРМ предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфеля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем (1952) и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каждого отдельного актива. Следовательно, при построении портфелей и определении общего риска портфеля должны рассматриваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.

Из гл. 4 мы узнали, что, когда доходы по рискованному активу являются случайными переменными, доходы по портфелю - это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным активам, т.е.

*, (9-23)

Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не равно взвешенной по стоимости средней из средних квадра-тических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации этого среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов составляет

<ур - ♦ wfal + lWMfawt), (9.24)

где оу- среднее квадратическое отклонение портфеля; wa и Щ- веса активов а и b в портфеле; сг2 и а - дисперсии доходов по активам А и В; д,ь - корреляция доходов по активам А и В; аа и оь - средние квадратические отклонения доходов по а и Ь; (й,ь°ааь) - ковариация доходов по активам А и В.

Выражение (9.24) может быть обобщено:

°-р = 1Х°,?+1 t W.WjOij, (9-25)

i=l /-1 j=l,i*j

где о~у - ковариация в портфеле в парах активов.

Гпава 9

Для портфеля активов с о по л это может быть записано в матричном формате как

4= WaWbWc ...Wn\

Каждый элемент-дисперсия в дисперсионно-ковариационной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние. Поэтому W}. Каждая ковариация умножается

один раз на вес каждого актива из пары активов, и существуют две ковариации для каждой возможной пары. Поэтому 2covWjWj.

Граница эффективности

Как было показано в гл. 2, если коэффициент корреляции в парах активов меньше чем 1,0, то диверсификация может улучшить взаимосвязь между ожидаемым риском портфеля и ожидаемым доходом по портфелю. Это происходит потому, что, если переменная доходности является линейной функцией средней доходности, то фактор риска представляет собой квадратическую функцию дисперсии доходов по ценным бумагам. Степень улучшения портфеля зависит от весов, которые каждый из активов имеет в портфеле, и от корреляции этих активов.

Лучший способ продемонстрировать это - пример с двумя активами. Рассмотрим данные табл. 9.1 - различные средние квадратические отклонения портфеля, составленного из двух рискованных активов, при допущениях, что корреляция (Cor) равна 0,6 или 0,9 и что доли каждого актива в портфеле меняются на 10%. Рис. 9.2 - это диаграмма границ эффективности, относящихся к портфелям, построенным с учетом предположенных Cor = 0,60 и Сог = 0,90. Актив А имеет ожидаемый доход 10% со средним квадратическим отклонением 14%, а актив В - ожидаемый доход 12% со средним квадратическим откло-

°6п

(9.26)