Оптимизация Таблица 9.1

Для предположенной степени корреляции среднее квадратическое отклонение рассчитано для некоторых различных портфелей, которые могут быть построены из этих двух активов и нанесены на диаграмму (рис. 9.2).

Риск (среднее квадратическое отклонение)

Рис. 9.2. Границы эффективности

Сначала рассмотрим данные в столбце табл. 9.1 для Cor = 0,6 и график на рис. 9.2 для Cor = 0,6, отражающие выгоды от диверсификации для случая, когда активы умеренно коррелированны. Данные и график, обозначенные Cor = 0,9, показывают, что диверсификация имеет благотворное влияние на соотноше-

коррелированны. Заметьте, что в обоих случаях граница эффективности вогнута. Чем больше степень вогнутости, тем больше выгоды от диверсификации. Учтите, однако, что не все точки на границе эффективны, а эффективна только верхняя часть каждой вогнутой границы (обозначенных АВ на рис. 9.2).

Верхняя часть каждой из линий АВ представляет границу эффективности возможных портфелей, так как на границе невозможно достичь большего дохода без несения большего риска. Выше линии находится область недостижимых комбинаций риска и дохода из-за ограниченности характеристик ценных бумаг А и В. Ниже линии находятся худшие комбинации риска и дохода, которые могут быть улучшены просто перемещением в любую точку на линии АВ. Это достигается продажей существующих активов и покупкой А и/или В. Например, портфель С располагается на нижней части границы, помеченной Cor = 0,6. Инвестор может повысить свою полезность продажей этого портфеля и покупкой комбинации А и В, представленной любой из точек на границе эффективности. Например, перемещаясь в точку D, инвестор несет тот же уровень риска, но получает более высокий доход, чем в С.

Нужно отметить, что не существует единственного наилучшего портфеля. Жирные линии указывают на многие эффективные портфели . Граница эффективна, потому что невозможно повысить доход без увеличения риска или снизить риск без снижения дохода. Возможная комбинация риска и дохода будет зависеть от целевой функции (функция полезности для инвестора).

Однако давая в реальности обычно менее чем полностью коррелированные доходы по отдельным активам, теория предполагает, что наиболее диверсифицированным и, следовательно, приносящим наилучший доход на единицу риска, будет портфель, который содержит все рискованные активы. Это должны помнить инвестиционные менеджеры, поскольку их портфели обычно ограничены до содержания только денежных средств, облигаций и обычных акций.

Задача оптимизации портфеля

Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и влияние ковариации, мы можем определить задачу оптимизации портфеля. Задача оптимизации портфеля заключается в том,

чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Предположим, что цель инвестора состоит в минимизации риска портфеля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен портфель. Например, целевой функцией может быть минимизация риска, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с этими ограничениями - объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Риск и доход для портфеля из трех активов а, Ь и с и их весами, обозначенными как Щ, определяются следующим образом. Математическое ожидание дохода

Щ) = Vk + Wt + Щге (9.27)

Дисперсия портфеля составляет

.2

+ Wl oj + Wi с,

2 2

(9.28)

+ 2Wa Щст + 2И/и/(СОувс)

Как было объяснено ранее, эта дисперсия портфеля может быть выражена с помощью векторов весов и матрицы дисперсий и ковариации. Выразив дисперсию портфеля через Z, получим:

var covoA cov. cov4fl var4 cov4c covCfl covc4 varc

Z = [Wa Wb Wc\

К Wc

(9.29)

оптпмпздипя

ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбора. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.