Портфельная задача, таким образом, состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Как мы видели выше, дисперсия портфеля Z может быть выражена как произведение транспонированного вектора W, т.е. WT. дисперсионно-ковариационной матрицы Q и вектора W, т.е. W. Следовательно, поставленная -задача является задачей квадратического программирования и может быть формально записана как

минимизировать 2= WJ&.W

при Wa + Wb + Wc = 1 (9.30)

WaE(ra) + WbE(rb) + WcE(rc)zR,

где R -это минимальный приемлемый уровень дохода.

Замечание: при матричном отображении выделение выражений жирным шрифтом и их подчеркивание как W означает, что эти выражения представляют собой векторы.

Проиллюстрируем процесс оптимизации примером трех активов.

Приложение квадратического программирования к задаче выбора портфеля из трех активов - нахождение оптимального (с минимальной дисперсией) портфеля

Предположим, что мы имеем три актива - А, В и С с ожидаемыми доходами 0,11, 0,15 и 0,08 соответственно. Дисперсионно-ковариационная матрица, которая будет обозначена как Q, имеет следующий вид:

А В С

А [0,00015 0,00005 -0,00007 В П= 0,00005 0,00025 - 0,00003 С [- 0,0007 -0,00003 0,00010

Мы хотим найти пропорции Ws для инвестирования в каждый актив, чтобы получить требуемый доход 11% при минимальной дисперсии, т.е. найти W (т.е. [ИИИ]1) для решения следующей задачи

минимизировать Z= W1£iW

при Wa + Wb + Wc = 1

0,11 Wa + 0,l5Wb + 0,08 И/ = 0,11.

В данном примере мы предполагаем, что отрицательные позиции по активам невозможны. Составляющие дисперсии Z = = WjClJV перемножаются, чтобы получить

( - W} o2a + W} cl + W} a2. + 2WaWbCOvM + IWfOi* + IWbWfiOVb) = 0,00015 И2 + 0,00025 W* + 0,00010 Wc2 + 0,00010 -- 0,OOOl4WaWc-0,00№WbWc

Таким образом, наша оптимизационная задача в итоге выглядит как

минимизировать

z= 0,00015 w} + 0,00025 w} + 0,00010 w} + 0,00010 We W4-0,00014-0,00006

o,uwa + o,isw4 + 0,08 ; = 0,11

Оптимизация при ограничениях в випе равенств: использование множителей Лагранжа

Так как наша задача в приведенном выше виде содержит ограничения только в виде равенств, она может быть решена с использованием множителей Лагранжа, одного для каждого ограничения. Применение множителей Лагранжа к оптимизации при одной переменной было описано в гл. 3.

Вспомним, что, когда множители Лагранжа применяются в случае одной переменной, сначала ограничение приравнивается нулю и затем прибавляется к оптимизируемой функции

минимизировать Z = AJV) (подчеркивание выделенного жирным W

указывает, что фактически W - это вектор, например, л активов)

при g(W) = Q (тот факт, что g выражено в виде вектора,

показывает, что существует несколько, скажем, т равенств. Заметьте, что т < л).

В нашем конкретном случае

(9.31)

где > *

йШ) - + w + w-\

&СЮ = 0,11 И/ + 0,15 Wb + 0,081Ve-0,11 Построим лагранжиан: L(W,A), где ДЖ ) =

£(lT)x) = Z-5]/;ft( .). (9.32)

Я,- - это множители Лагранжа.

Следовательно, лагранжиан строится посредством вычитания из первоначальной целевой функции всех отдельных функций ограничений, которые были помножены на соответствующие им множители Лагранжа.

Заметьте, что сейчас мы имеем функцию n + т переменных. Найдем л частных производных по переменным х, (замечание: мы не определяем т частных производных для множителей Лагранжа, потому что частные производные по Я только лишь возвращают нас к уже имеющимся ограничениям в виде равенств). Затем попробуем найти x;S и As, которые превращают эти частные производные в ноль и одновременно удовлетворяют ограничениям в виде равенств. Отсюда мы имеем систему л + т уравнений с n + т неизвестными. Так как число уравнений и неизвестных равно, мы можем найти решение через постановку и решение задачи, представленной системой уравнений.

Однако существует или нет решение зависит от того, являются ли ограничения противоречивыми. Если одно ограничение гласит, скажем, *2о < 50,а другое - *2о > Ю0, то ясно, что решения не существует, но в большой и сложной задаче подобные несоответствия заметить бывает очень трудно. В зависимости от сложности функции L мы можем найти решение аналитически или с использованием численного метода при условии, что решение существует.