Затем мы располагаем левосторонние элементы в матрицу 5x5, за которой следует вектор переменных 5x1, включающий X. Справа мы располагаем единичную матрицу и вектор 5x1, отражающий правую сторону дифференцированного выражения:

Начнем с умножения первых строк обеих матриц на 3333,33 для приведения элемента в левом верхнем углу к 1.

В следующем шаге отнимем 0,00010 раз новую первую строку от вторых строк с обеих сторон. Затем добавим 0,00014 раз новую первую строку к третьим строкам с обеих сторон, потом отнимем 1 раз новую первую строку от четвертых строк и в завершение отнимем 0,11 раз новую первую строку от пятых строк с обеих сторон. В результате первый столбец в левой матрице содержит 1 в качестве верхнего элемента и 0 для всех остальных, отсюда

0,3333 0,000466 -0,000013 0,9999 0,11333

- 0,46666 -0,000013

0,00020 1,46666 0,13133

3333,3

- оззззз

-0,46666

- 3333,33 366,666

- 3333,33

- 0,66666 -1,4666 33333 366,666

- 366,66 -0,11333

0,131333 366,666 40,3333

о о о 1

0,11

Продолжим похожим способом, сначала умножая вторые строки так, чтобы второй элемент во втором столбце левой матрицы (0,000466) стал единицей, и затем вычитая или прибавляя произведения второй строки, чтобы обратить остальные элементы второго столбца в нули. Повторение этого процесса для третьего, четвертого и пятого столбцов левой матрицы приводит к преобразованию ее в единичную матрицу, в то время как проведение действий над правой матрицей производит кратную обратную. В конце мы приходим к

16,0976 -11,8699 0,01542 0,15837

0,288 и Wc = 0,384 (при k\ =

0 0 0 1 0 0 0 0 1

- 1138,21 0,79350

487ДО5 -1,48293

650,407 1,68943

-1,68943 0,00155

11,8699 - 0,01542

получая результат Wa = 0,328, Wb -0,000157 и Д2 = 0,002).

Конечно, вычисления, описанные выше, очень утомительны, и практически невозможно провести их вручную без ошибок (даже используя калькулятор). Существует много эффективных компьютерных методов, чтобы выполнить эту задачу, и мы могли бы использовать электронные таблицы. Однако можно применить и пакет линейного программирования, если целевая функция просто выражена в какой-либо искусственной форме, и ограничения выглядят так:

-0,00014 ; -Aj-0,1U2 =0 - 0,00006Wc -А,- 0,15А2 =0 + 0 00020 W. - Я, - 0.08Л-, = 0 + 1 Wc ОЯ1 0Я2 = 1

+ 0,08 ; ОЯ1 0Я2 =0,11.

В действительности пакет линейного программирования просто используется для нахождения возможного решения системы уравнений. Так как уравнений столько же, сколько неизвестных, обычно будет существовать единственное возможное решение, которые и должно быть оптимальным.

о.ооозо ; +0,00010

0,00010 Wa + 0,00050 -0,00014Wa -0.000\AWh

\wa + \wb 0,11 wa + 0,15 ;

Квадратическое программирование с неравенствами

При практическом применении задачи выбора портфелей часто могут включать некоторое количество ограничений в виде неравенств, обычно устанавливающих пределы для инвестирования в

конкретных направлениях. Представим, например, что в рассматриваемой задаче мы налагаем дополнительное ограничение 0,25.

Проблема здесь заключается в том, что мы не знаем заранее, будет ли наше дополнительное ограничение задействовано. Конечно, мы можем разрешить этуЛдилемму, просто решая две задачи, в одной из которых ;мы не имеем ограничений для xj, и, если ответ дает значение Wc > 0,25, тогда то ограничение, на котором мы настаиваем, составляет Wc = 0,25. Однако с двумя подобными ограничениями будут существовать четыре возможности для проверки - ни одно из ограничений не является жестким; первое - жесткое, а второе - нет; второе жесткое, а первое - нет; оба - жесткие. При десяти подобных ограничениях существует 210 = 1024 возможности. Так как избежать этого комбинаторного взрыва нельзя, было бы полезным иметь возможность каким-то образом автоматизировать поиск. Условия Кю-на-Такера предоставляют такой механизм.

Заметьте, что мы теперь не способны гарантировать, что окажемся на границе эффективности, поэтому мы также должны ослабить наши ограничения в виде равенств по поводу полного инвестирования и/или требуемого дохода - мы можем прийти к более рискованному портфелю, но нам не нужно будет использовать все свои деньги, и/или мы можем прийти к большему доходу!

УСЛОВИЯ КЮНА-ТАКЕРА

(Kuhn-Tucker)

Первый шаг в этом анализе - манипулирование неравенствами, так чтобы задача была выражена в стандартной форме

минимизировать Z = flJV)

при = 0 для / в некоторой совокупности Е (т.е.

совокупность ограничений в виде равенств) #Ш) 0 для / в некоторой совокупности / (ограничения в виде неравенств)

Следовательно, для нашей задачи (заметьте, что теперь не существует ограничений в виде равенств)