В этой главе мы коснемся стохастических процессов непрерывного времени/непрерывной переменной, позволяющих непрерывным переменным - ценам активов и доходам по активам - изменяться непрерывно во времени. Математика таких процессов известна как математика непрерывных процессов, которые ведут к использованию стохастических исчислений.

Начнем главу с объяснения стохастических непрерывных процессов цен активов и доходов. Затем объясним применение стохастических исчислений к ценообразованию производных финансовых инструментов. И в заключение представим концепцию нейтральности к риску, после чего мы перейдем к детальному объяснению ценообразования производных финансовых инструментов в рамках нейтральности к риску в приложении к модели, разработанной Блэком и Сколсом (1973).

СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС СТОИМОСТИ АКТИВОВ

Цены активов не могут быть отрицательными, но могут быть бесконечно положительными, поэтому и отношение цен, т.е. Р1/Р2 не может быть отрицательным, но может быть бесконечно положительным. Этот эмпирический факт является базой для выдвижения предположения, что отношение цен ценных бумаг распределено логнормально и что непрерывно наращенный доход по ценным бумагам, т.е. In P-JPi, распределен нормально. Если наблюдения проводятся за индивидуальной случайной переменной, то, поскольку они происходят в отдельном промежутке времени, случайная переменная (доход по ценной бумаге в нашем случае) может следовать случайному блужданию (random walk), что является частным случаем мартингального процесса. Непрерывное во времени случайное блуждание называется диффузионным процессом. Характеристики мартингаль-ных процессов и частный случай случайных блужданий были изучены в гл. 7.

Существует группа случайных переменных, где смещение непосредственно зависит от предыдущего состояния данной переменной. Такие стохастические процессы предполагают, что только текущее состояние стохастической (случайной) переменной является важным в прогнозировании будущих

значений этой переменной. Такие стохастические процессы известны как марковские процессы. Однако важным свойством всех интересующих нас процессов является то, что стохастическое изменение или инновация переменной независима и тождественно распределена (independent and identically distributed, IID)

Согласно части финансовой теории, известной как гипотеза эффективных рынков (efficient market hypothesis, ЕМН), цены активов отображают всю историческую информацию, касающуюся этого актива, и немедленную реакцию на поступающую новую информацию по этому активу. Эта ответная реакция проявляется в виде изменения цены. Если действительно рынки немедленно реагируют на новую информацию и каждая часть новой информации независима от предыдущей, изменения в ценах активов будут следовать марковскому процессу.

Хотя история движения случайной переменной на протяжении некоторого времени не требуется для прогнозирования будущих движений, статистические характеристики прошлых движений могут быть полезны в прогнозировании распределения вероятностей будущих движений. Например, средняя и волатильность прошлых движений могут быть полезны в прогнозировании будущих движений в вероятностном смысле.

Существует целое семейство марковских процессов; некоторые, такие, как биномиальные и триномиальные модели, мы уже встречали. В этой главе мы рассмотрим три процесса непрерывного времени/непрерывной переменной: основной процесс Винера, обобщенный процесс Винера и процесс Ито.

Процесс Винера, известный также как броуновское движение

Разновидность марковского процесса, которая используется как отправная точка для определения стохастических процессов цен активов, это основной процесс Винера (basic Wiener process), или броуновское движение (Brownian motion). Стохастический процесс переменной описывается как подверженный многочисленным небольшим импульсам. На данном этапе представляется подходящим начать описание процесса движения цен активов. Часто считается, что цены активов изменяются

Гпава 10

случайным образом на протяжении периода в результате совокупного эффекта многих независимых случайных импульсов, являющихся следствием получения новой информации.

Основной проиесс Винера*

Для того чтобы понять, каким образом процесс Винера соотносится с движением цен активов, мы начнем с объяснения основного процесса Винера.

Пусть S будет любой случайной переменной, а г - периодом времени. За малый промежуток времени Аг случайная переменная S изменится на AS. Если £ следует процессу Винера, т.е. броуновскому движению, изменение 5 за малый промежуток времени будет соотноситься с Аг следующим образом:

А5 = 8л/а7, (10.1)

где £ - получено на основе случайной выборки из нормально распределенной переменной со средней, равной нулю, и средним квадратическим отклонением, равным единице. В пределе это можно записать так:

d5 = eVd7. (10.2)

Так как е - нормально распределенная переменная, то и AS должна быть нормально распределена со средней, равной нулю, дисперсией At и. средним квадрашческим отклонением ТдТ.

Следовательно, по сути мы имеем переменную S, которая изменяется случайным образом на величину AS, которая зависит от другой случайной переменной е 7д7 (эффект случайного получения новой информации на рынке), имеющей среднюю, равную нулю, дисперсию Аг и среднее квадратическое отклонение >/д7.

Независимость переменных - важное свойство процесса Винера. Это означает, что разные значения AS независимы и, так как е нормально распределена, значения AS характеризуются как независимые и тождественно распределенные IID (AS~ N(0, -JaI ). Если дисперсия отдельной AS равна Аг, дисперсия за более длинный промежуток времени будет £Af.

Для того чтобы это понять, рассмотрим независимые наблю-