Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [ 156 ] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

отрицательного тренда во временных рядах стохастической переменной. Когда речь идет о финансовых активах, следует принять положительную тенденцию (positive drift), поскольку, как уже отмечалось, рисковые активы должны иметь положительный доход, чтобы компенсировать несение риска инвесторам. Таким образом, тенденция аналогичнаожидаемому доходу.

Параметр тенденции апредставляет собой изменение S за малый промежуток времени dr. Если бы мы рассматривали только тенденцию, ds, получаемая из ожидаемого дохода а за малую единицу времени, была бы adr. Однако объединив это с процессом Винера, мы получаем стохастический процесс случайной переменной, характеризующийся как скоростью тенденции, так и основными свойствами процесса Винера. Эта случайная переменная имеет ожидаемое изменение по следующим двум причинам: 1) ожидаемый доход за малый интервал времени составляет adr; 2) случайное изменение сте-Уд7, которое было обсуждено в основном процессе Винера. Таким образом, малое изменение в цене актива за малый временной интервал может быть смоделировано следующим стохастическим дифференциальным уравнением (stohastic differential equation):

dS = adt + oWdT. (10.5)

Данное уравнение также можно записать и в дискретной форме:

д5 - ад/ + аъЛ! . (10.6)

Так как AS распределено нормальным образом, то средняя (математическое ожидание) равно аЛг, среднее квадратическое отклонение составляет ст 7д7, а дисперсия равна a2At. Следовательно, а 2 становится дисперсией за единицу времени; параметр ст известен как волатильность.

Поэтому обобщенный процесс Винера включает основной процесс Винера наравне с элементом тенденции. Элемент тенденции является детерминированным, т.е. неслучайным, а основной процесс Вднера представляет собой стохастический элемент. На рис. 10.3 изображен один из таких процессов, где ясно заметно влияние положительной тенденции. Обобщенный процесс Винера может рассматриваться как непрерывный во времени эквивалент субмартингального процесса.




160т 140 120 100

60 И Л ЛЛ

40 Ар Т \1

20 Ч/ьГ W

Рис. 10.3. Броуновское движение (с тенденцией)

Проблема 3: величина изменения иены актива должна Выть независима от величины иены актива

Для того чтобы понять эту проблему, вспомним, что а - это абсолютный доход за единицу времени, являющийся постоянным, но не зависимым от цены актива. Однако инвесторы нуждаются в процентной ставке доходности, зависящей от принимаемого риска, и следовательно, не зависящей от уровня цены актива Поэтому если инвесторам нужна 8%-ная доходность по данному активу, они требуют эти 8% независимо от того, стоит актив 1 или 10 фунтов стерлингов.

Следовательно, желаемый стохастический процесс цен активов должен включать абсолютный доход, который является функцией от цены актива, но ставка дохода не должна зависеть от цены актива.

Таким образом, для того чтобы удовлетворить наши требования к модели цен активов, необходимо обобщенный процесс Винера, разработанный до этого момента, заменить на более общий тип стохастического процесса, известный как процесс Ито (Ito process).

Процесс Ито - это обобщенный процесс Винера, в котором параметры а (ожидаемый доход) и о2 (дисперсия) являются функциями от основных переменных. В общем виде процесс



Ито выглядит как dx = a (х, t)dt + а (х, t)s -Jdt. В нашем случае основные переменные - это цена актива S и время /, тогда процесс Ито записывается так: dS= S(S, t)dt + a(S, t)e -Jdt. Следовательно, если меняются основные переменные, меняется и абсолютная скорость тенденции. -Например, с увеличением S увеличивается и а, а с увеличением / увеличиваются аист.

Для преобразования нашего процесса Винера в процесс Ито обозначим ожидаемую ставку доходности, выраженную в десятичной форме, как ц, тогда /лУ будет абсолютным доходом. Для малого промежутка времени At ожидаемый абсолютный доход будет AS = pSAt, что в пределе выглядит как dS = /jSdt. Разделив обе части равенства на S, получим ставку доходности dS/S = /jit.

Таким образом, мы имеем абсолютное изменение цены актива AS, которое является функцией от цены актива (/jSAt), и ставку доходности dS/S, которая не зависит от цены актива (pdt).

Хотя мы и можем установить функциональную зависимость абсолютного ожидаемого дохода от цены актива, степень неопределенности, касающаяся ожидаемого дохода, в течение малого периода времени будет независима от цены актива. Это значит, что инвестор испытывает одинаковую неопределенность относительно будущих доходов независимо от того, равна цена 1 или 10 фунтам стерлингов.

Следовательно, dS/S является функцией от pdt и ae-Jdt. Объединив это, получим

= ndr + oWd7 (10.7)

или dS = ySdt + o\SeVd7,

что и является процессом Ито. Если процесс Винера часто называется броуновским движением, то рассматриваемый нами процесс Ито иногда называется геометрическим броуновским движением.

Рис. 10.4 показывает пример процесса Ито (геометрического броуновского движения). Следует отметить рост, подобный экспоненциальному, что является следствием пропорциональной зависимости ставки роста от уровня S в процессе.

Мы уже заметили, что хотя степень неопределенности будет независима от цены актива, абсолютный доход будет тем больше, чем выше цена актива. Поэтому фактическая разбросанность



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 [ 156 ] 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175