Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [ 157 ] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

ожидаемых цен активов будет зависеть от величины текущей цены актива. В результате среднее квадратическое отклонение абсолютного изменения будет тем больше, чем выше цена актива.

140 т

Рис. 10.4. Процесс Ито

.Дисперсия фактических изменений цены актива, зависящих от величины этой цены, определяется как

сгДГ, (10.8)

а получаемая мгновенная дисперсия равна

ог&. (10.9)

Этот результат получается потому, что если мы установили пропорциональную зависимость среднего квадратического отклонения от цены актива, дисперсия будет пропорциональна квадрату этой цены.

Выражая изменчивость в качестве среднего квадратического отклонения, мы имеем ожидаемый (детерминированный) элемент дохода, представленный как функция от цены актива и времени, также мы имеем стохастический элемент изменчивости цены как функцию от цены актива и времени. Такая модель движения цены актива может быть представлена в форме:

US = цЯг + o&VdF., (10.10)

которая является процессом Ито, так как цены актива и изменчивость этих цен являются функцией от основных переменных - цены актива S и времени t.



Первый элемент - средняя /jSdt - фиксированный, т.е. не стохастический. Второй элемент - стохастический компонент o\SeVd7 - является причиной стохастической природы всей функции. Кроме того, так как s выбирается из стандартного нормального распределения, dS также нормально распределена со средней pSdt и средним квадратическим отклонением o-i&VdT; также и dS/S нормально распределена со средней df и средним квадратическим отклонением

ПРИМЕНЕНИЕ ЛЕММЫ ИТО К ЦЕНООБРАЗОВАНИЮ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Мы объяснили, каким образом цены активов следуют процессу Ито:

dS = nSdt + o\Wd7. (10.11)

Мы можем использовать наши знания процесса Ито для определения стоимости производных финансовых инструментов таких, как форварды, фьючерсы и опционы. Ито (1951) доказал, что любая переменная, являющаяся функцией другой переменной, которая следует процессу Ито, сама будет следовать процессу Ито в форме:

\dW dW \d2W Л dW гг Ш = {-dXa + ~dT + 2 B Г + (I0I2)

где W - функция (производная) от А, а А следует процессу Ито:

d* = adf + oWd7. (10.13)

Следовательно, W также следует процессу Ито. Параметры а, о-2 и о- в уравнении (10.12) - это ожидаемый доход, мгновенная дисперсия и волатильность соответственно, характеризующие переменную х, которая следует процессу Ито. Заметьте, что составным элементом является основной процесс Винера е Vo7.

Цена производного финансового инструмента W является функцией от цены ценной бумаги, лежащей в основе контракта, и времени. Переменная W имеет скорость тенденции:




(10.14)

и норму волатильности:


(10.15)

Применяя лемму Ито к производным финансовым инструментам, вспомним, что S - это цена актива, лежащего в основе контракта, а ожидаемый доход, дисперсия и среднее квадратическое отклонение основного актива обозначены через fiS, a2S2 и aS соответственно. Тогда производная переменная W, являющаяся функцией от S и г, будет следовать процессу Ито:

Ниже мы увидим, каким образом полученный результат (10.16) может быть использован при определении стоимости производных финансовых инструментов.

Ценообразование производных Финансовых инструментов в безрисковои среое

Нейтральность к риску - это искусственное (абстрактное) состояние среды, где инвесторы, как предполагается, безразличны к риску. Вследствие этого они не требуют премии за риск, но и не платят другим за несение риска. В результате в безрисковом мире по всем рисковым активам выплачивается безрисковый доход. Подобный мир не относится к тем, которые обычно распознаются как миры, описывающие наши финансовые рынки. Однако данное интеллектуальное порождение довольно полезно в преодолении трех взаимозависимых проблем, связанных с ценообразованием производных финансовых инструментов.

Прежде всего, нам необходимо знать ожидания инвесторов относительно дохода по данному активу. Это даст нам величину скорость тенденции ц.

Во-вторых, нам необходимо знать ожидания инвесторов относительно риска - диапазона распределения вероятностей будущих доходов по активу. Это даст нам среднее квадратическое отклонение.


o2S2 ot + ~ct.sWo7. (10.16)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [ 157 ] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175