В-третьих, нам необходимо знать требуемый доход для инвесторов. Это даст нам ставку дисконтирования, которая будет использована в определении стоимости производных финансовых инструментов. Требуемый доход будет связан с ожиданиями инвесторов относительно риска и со степенью неприятия риска ими. Пока же мы не представляем себе, каким будут эти отношения к риску.

Все три переменные - ожидаемый доход, ожидаемый риск и степень неприятия риска - будут различны для инвесторов. Но для двух наших проблем существует искусное решение. Вспомним, что процесс Ито для основной переменной и процесс Ито для производной содержат стохастический элемент aSг/dt, но в разных пропорциях. Следовательно, возможно занять длинную позицию по основной переменной и короткую по производной переменной таким образом, что эти два стохастических процесса исключат друг друга. На рынке активов это возможно осуществить, например, путем покупки основного актива и продажи некоторого количества производных финансовых инструментов, скажем, опционов на покупку. Вспомним, что это метод, с помощью которого была разработана однопериодная биномиальная модель в гл. 8.

Вспомним также, что стохастический элемент или процесс

ovSfe -Jdt отвечает за стохастическую природу и, следовательно, за рискованность как основной переменной, так и производного финансового инструмента. В результате портфель ценных бумаг, состоящий из длинной позиции по основной переменной и короткой по производной переменной таким образом, что два стохастических процесса исключают друг друга, будет безрисковым. Поэтому на эффективных финансовых рынках этот портфель (или комбинация) должен иметь безрисковую процентную ставку, что означает, что только безрисковая процентная ставка может быть использована для дисконтирования будущей стоимости и приведения ее к текущей.

Для того чтобы это стало ясным, вспомним, что процесс Ито для основного актива выглядит так:

dS = \xSdt + oSsJdi, а процесс Ито для W - производной от S - так:

(10.17)

bW =

bW 1 b2W

a2S2 dr + a&VdT

(10.18)

6f + 2 552

Представив актив S и соответствующий производный финансовый инструмент W с помощью соответствующих процессов Ито, построим портфель П, состоящий из одной короткой позиции по производному финансовому инструменту и длинной позиции по bW/bS единиц основного актива. Тогда изменение в стоимости портфеля 5П будет равно:

{5S * 8t 2 SS2 J 55

5П :

&S

(10.19)

bW 1 5¥g252 Ы 2 5,у2 CT

Чтобы показать, как был получен конечный результат, раскроем скобки в уравнении (10.19) и сократим слагаемые:

6П =

bW bW At 1 b2W ls,iAt bW c /Т7

-- uJdf +-6t +--a S ut + -- o&EyQt

SS Ы 2 ss2 85

8S 8S

St 2 552

(10.20)

= I -iitL 12Lff2j2 \dt. { 2 8J2 J

Вспомним, что наш портфель П состоит из одной короткой позиции по производному финансовому инструменту W и длинной позиции по 5 075.5* единиц основного актива S. Так как портфель является безрисковым в каждом коротком промежутке времени, он имеет мгновенную безрисковую процентную ставку. Поэтому любое изменение П за малый временной промежуток должно быть равно произведению безрисковой процентной ставки и стоимости безрискового портфеля за тот же малый временной интервал, тогда

Раскрыв скобки и переставив слагаемые, получим

(10.22)

Этот результат особенно полезен, так как он означает, что ожидаемый доход или скорость, тенденции ц может быть заменена безрисковой процентной ставкой г. Вследствие этого отпадает необходимость в том, чтобы знать ожидаемую ставку дохода по основному активу в процессе определения цены производного финансового инструмента, следовательно, первая проблема решена. Помимо этого, так как портфель является безрисковым, по крайней мере в течение мгновенного временного интервала df, только безрисковая процентная ставка должна быть использована для дисконтирования будущей стоимости производного финансового инструмента к настоящей или текущей цене.

Однако наша вторая проблема еще не решена, нам по-прежнему необходимо знать среднее квадратическое отклонение или волатильность основной переменной! В сущности мы должны знать распределение вероятностей основного актива.

Уравнение с частными производными Блэка-Сколса и ценообразование опиионов

Уравнение (10??) - что уравнение в частных производных, выведенные Блэком и Сколсом (1973) для определения стоимости любого производного финансового инструмента. Для разных типов производных финансовых инструментов уравнение имеет разные решения, которые зависят от ограничивающих условий для каждого из этих типов оцениваемых производных финансовых инструментов. Для Европейских опционов ограничивающие условия те же, что и приведенные в гл. 8, а именно:

Ограничивающие условия играют особенно важную роль в решении уравнений с частными производными, поскольку решение таких уравнений аналогично процессу интегрирования, рассмотренному в гл. 3. Уравнения с частными производными

С = max [0,S-X\, Р = max [0,X-S\.