описывают скорость изменения переменной, но не описывают уровень значения этой переменной. Для этого нам нужна другая информация, которая и предоставляется ограничивающими условиями.

ДОПУЩЕНИЯ - ПРОЦЕСС ИТО И ЛОГИОРМЛЛЬИОСТЬ

Среди различных допущений, сделанных Блэком и Сколсом, есть два особенно важных. Первое - цены ценных бумаг следуют процессу Ито. Второе - цены ценных бумаг распределены логнормально и, как следствие, непрерывно наращенный доход распределен нормальным образом. Эти два допущения, как будет сейчас показано, неразрывно связаны друг с другом.

Проиесс Ито

Предполагается, что цена ценной бумаги S следует процессу

dS = \LSdt + aSeJdl. (10.23)

Натуральный логарифм этой переменной будет нормально распределен:

1п5, ~ N

(10.24)

где г - текущее время, Т - будущая точка во времени, a (T-t) - период времени, за который анализируется ценная бумага.

Например, пусть W = InS, так как W - функция S, тогда если S следует процессу Ито, W также будет следовать процессу Ито:

и/= 1п5,

S In s 1 s

85 S2 In 5 55 2 Sln5 5/

(10.25)

Вспомнив гл. 3, можно увидеть, что это действительно так.

Вспомним также, что процесс Ито для переменной W был дан в виде

oW =

8W bW 1 b2W 2о2Л

--- ixS + -- + --- aS

55 Sr 2 552

dt + 2£raSsJdt, (10.26) oS

тогда, подставив значения выражений (10.25) в уравнение (10.26), получим *

d\nS jyiS + O + -St + jcSe . (10.27)

Далее, сделав преобразование и вспомнив, что е по допущению равно единице, получим:

dlnS :

dt + crVdT .

(10.28)

Таким образом, 1п.У следует процессу Винера.

Логнормальное распреаеленпе

В гл. 4 мы показали, что переменная распределена логнормально, если ее натуральный логарифм распределен нормально. Кроме того, логнормальное распределение является привлекательным с точки зрения применения его по отношению к ценам активов, так как диапазон этого распределения находится в интервале от 0 до +оо. Этот диапазон в точности схож с теоретическим диапазоном цен активов потому, что они не могут быть отрицательными, но могут принимать очень высокие положительные значения.

Также в гл. 4 мы показали, что если текущая цена актива S, в действительности логнормально распределена, цена в будущий момент времени Т, [nS, будет нормально распределена:

2>

In 5, ~ N

In S, +

(T-t),cJTt

(10.29)

Известно, что InSj-InS, = lnSr/St. Следовательно, разница между двумя логарифмами переменной является непрерывно наращенной ставкой доходности за период T-t, которая нормально распределена со следующими средней и средним квадратическим отклонением:

Средняя

J5 = (Wr- /.

(ц-~\(Т-1), (10.30)

Если мы перепишем уравнение (10.30) для очень малых временных интервалов, являющихся основой математики непрерывных процессов, то получим следующее:

( -2Л

Средняя

5/, (10.31)

что является в точности тем, что мы получили исходя из предположения, что цены активов следуют процессу Ито. Следовательно, предположения, что процесс Ито лежит в основе движения цен активов и цены активов логнормально распределены, являются совместимыми.

Блэк и Сколе признали, что уравнение с частными производными, которое они вывели, аналогично уравнению, описывающему тепловые диффузионные процессы в твердых телах. Решение так называемого теплового уравнения было уже описано Черчилем (Churchill) (1963). Поэтому с заданными ограничивающими условиями и предположениями, что г и ст постоянны, они имели возможность вывести точное и однозначное, решение для стоимости Европейского опциона на актив, в течение срока действия которого не выплачивается денежных средств таких, как дивиденды.

Точное решение для Европейского опциона на покупку выглядит так:

Хс = SNidO-Xe-tT-VNM), (10.32)

rf ln(5 / Х) + (г+с2 /2)(Г-/) (,0 33)

°J(T - f)

d2 =dx-cyl(T-t) , (10.34)

с - премия опциона на покупку, S - текущая цена актива,

X - цена исполнения, *

T-t - время до момента исполнения, выраженное в десятичных долях года,