Рассмотрим пример, предположив, что текущая цена актива равна 35,0 единиц, цена исполнения равна 35,0 единиц, безрисковая процентная ставка 10%, волатильность составляет 20%, а время до момента исполнения один год. Т.е. S- 35, X- 35, {Г- г) = 1,0, г = 0,1 и о-= 0,2.

Сначала, мы должны рассчитать d\, di и текущую величину цены исполнения Хет~:

А п(35/35) + (0,1 + 0,22 /2).1,0 060 0,20

d2=dx- ОДТО = 0,40

Хе-пт-о = 35e-(0.i i.q> = 31,66934. Тогда уравнение для опциона на покупку примет вид: с = 35JV(0,6)-31,6693JV(0,4).

На следующем шаге по таблицам находятся значения кумулятивного стандартизованного нормального распределения вероятностей в точках 0,6 и 0,4. Альтернативным методом для расчета значений кумулятивного стандартного нормального распределения вероятностей является нахождение функции в виде многочлена, что было объяснено в гл. 8.

Зная, что d\ - это стандартизованная нормально распределенная случайная переменная и что N(d\) - кумулятивное стандартизованное нормальное распределение, N(d\) отображает величину площади под стандартизованной нормальной кривой от z = -оо до z = d\.

Эти значения равны 0,7257 и 0,6554. Подставим их в уравнение и получим:

с = 35(0,7257)-31,6693(0,6554) = 4,6434.

Таким образом, искомая цена опциона на покупку равна 4,6434. Читатель может сравнить этот результат с теми, что были получены по биномиальной и триномиальной моделям, рассмотренным в гл. 8.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Объясните, как вы понимаете термин марковский процесс .

2. Объясните, что такое основной процесс Винера. Почему если переменная следует основному процессу Винера, средняя изменений будет 0, а среднее квадратическое отклонение 4Т ?

3. Что вы понимаете под термином обобщенный процесс Винера ?

4. Что такое процесс Ито? Почему он более приемлем для описания стохастических процессов цен активов, чем основной процесс Винера или обобщенный процесс Винера?

5. Объясните, используя процесс Ито, каким образом возможно оценить производные финансовые инструменты в нейтральной к риску среде.

6. Объясните, каким образом два предположения модели Блэка-Сколса ценообразования опционов: 1) цены ценных бумаг следуют процессу Ито; 2) цены ценных бумаг логнормально распределены, совместимы друг с другом.

7. Используя модель Блэка-Сколса для Европейского опциона, по которому не выплачиваются дивиденды, найдите стоимость трехмесячного опциона на покупку, где цена актива и цена исполнения равны 35 единицам, краткосрочная процентная ставка 10% годовых, а волатильность 20%.

8. Сравните ваш ответ на вопрос 7 с ответом на вопрос 3 из гл. 8. Объясните различия, если они имеются.

9. Объясните, каким образом методы конечной разницы могут быть применены для решения уравнений с частными производными. Объясните разницу между применением определенного метода конечной разницы и неопределенного метода конечной разницы.

10. Объясните, как можно преодолеть возникающие проблемы для достижения сближения и устойчивости в определенном методе конечной разницы.

11. Используя данные из вопроса 7, определите стоимость опциона на покупку с помощью шестипериодной решетки. Сравните ваш результат с ответом на вопрос 3 из гл. 8.

ОТВЕТЫ

К ИЗБРАННЫМ

ВОПРОСАМ

7. 1,85. 11.

47,5

12,5

42,5

37,5

32,5

27,5

22,5

7,7827782

0,04

3,4588128 1,5772272 0,4649837

0,0066667

5,603448

3,2569941

1,3558335

0,3272028

0,0370406

AS 2,5

волатильность

7,9338793

5,443196

3,0500355

1,1109992

0,1958625

0,0115722

10,289854

7,7898538

5,2898538

2,8418287

0,8284516

0,0801407

12,645228

10,145228

7,6452282

5,1452282

2,6452282

0,4792531

10 7,5 5

СПИСОК

ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Black, F. and Scholes, М. (1973) The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81, (May-June), pp. 637-59.

Churchill, R.V. (1963) Fourier Series and Boundary Value Problems, 2nd edn. McGraw-Hill, New York.

Hull, J.C. (1993) Options, Futures and other Derivatives, 2nd edn. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Ito, K. (1951) On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society, 4, pp.1-51.

Watsham, T.J. (1992) Options and Futures in International Portfolio Management. Chapman & Hall, London.