Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [ 161 ] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

ПРИЛОЖЕНИЕ 10.1:

Метопы конечной разнпиы

в приложении к уравнению

в частных производных Блэка-Сколса

В гл. 10 мы уже показали, что объединение допущения о нейтральности риска с допущением, что цены активов следуют процессу Ито, позволяет нам вывести уравнение частных производных, пригодное для применения по отношению к любым производным финансовым инструментам. Это уравнение Блэка-Сколса еще раз приведено ниже:

W+rSb}V+la2s2&V=rlv. (ПЛ01)

5/ SS 2 552

Подобные уравнения называются уравнениями с частными производными, так как они содержат частные производные одной или нескольких переменных. В этом случае мы имеем уравнение, включающее первую производную цены огщиона по отношению ко времени 8W/8t, первую производную цены опциона по отношению к цене основного актива bW/bS и производную S W/8S также по отношению к цене данного актива.

Однозначное решение для таких дифференциальных уравнений можно получить только при наличии строгих ограничений (одно из которых было рассмотрено ранее в этой главе). В случае уравнения Блэка-Сколса мы имеем Европейский опцион, по которому не выплачиваются дивиденды, а его стоимость определяется ограничивающими условиями, приведенными ранее. Другие типы опционов, например, так называемые экзотические опционы , имеют более сложные ограничивающие условия, а однозначное решение часто невозможно получить, т? этих случаях необходимо прибегнуть к числовым методам. К счастью, существует множество таких подходов, которые легко понимаются и применяются. Метод конечной разницы - один из таких подходов. В действительности существует два подхода - определенный метод конечной разницы и неопределенный метод конечной разницы.

В этом методе частные производные в дифференциальных уравнениях заменяются на конечные разностные приближения (finite difference approximations). В определенном методе конечной разницы эти приближения выглядят следующим образом:

5W W(t + &t,S)-lV(t,S) 5/ ~ А/

bW W(t + &t,S + AS) -W(t + &t,S - AS) ЩЮ2)

&S 2&S

&2W W(t + &t,S + bS) -2W(t + &t,S) + W(.t + &t,S -&S)

as2 * /±s2



Проделав замену в дифференциальном уравнении Блэка-Сколса в соответствии с этим, получим следующее:

W(t + At, S) - W(t, S) { rS W(t + At,S + AS) -)V(t + At,S- AS)

At 2AS (n 10 3)

+ J 2S2 W(t + At,S+ AS)-2)V(t + At,S) + )V(t + At,S-AS) rW s

+ 2G AS2 . *

После некоторых алгебраических манипуляций уравнение примет вид: S

W(t,S) = 1

1-1-1

1 + rAt

Дгст2 + rjlV (t + At,S + AS) +

S , .2

S ..( S 2

lV(t + At,S) -r\W(t + At,S- AS)

(П.10.4)

Мы проиллюстрируем эту технику, применив ее к тому же самому опциону, что и для модели Блэка-Сколса.

Процесс начинается с построения решетки, в которой по вертикали помещены цены актива, возрастающие через равные интервалы, а по горизонтали - равномерно распределенные временные отрезки. Разница между каждыми равномерно изменяющимися ценами составляет AS, а временными точками - Дг. Ограничивающие условия для опциона дадут нам возможные значения стоимости опциона на момент исполнения (в момент времени 7), они составят значение самого правого столбца решетки. Эти значения будут аналогичны стоимостям на момент исполнения, расположенным у правой границы биномиального или триномиального дерева.

В нашем примере таблица с ценой актива S, изменяющейся от 10 до 60 с шагом AS = 2,5, и временным шагом At, равным одной десятой года 0,1, представлена на рис. 10.5.

Так как оцениваемый опцион имеет цену исполнения 35, то правый граничный столбец решетки соответствует ограничивающим условиям для опциона, т.е. с = тах[5т-35,0].

Рассмотрим рис. 10.6, представляющий собой уменьшенную копию рис. 10.5.

Самый правый столбец решетки (время Т) связан с ограничивающими условиями для цены опциона, относящимися в данном случае к опциону с ценой исполнения 35.

Рассмотрим три верхних значения столбца. Ячейка со значением стоимости опциона 22,50 относится к точке W(t + At, S). Значение 25,00 в самой верхней ячейке соответствует W(t + At, S + AS), а значение 20,00 - W(t + At, S-AS).



волатильность

0,10

57,5

22,84653

22,5

20,68964

20,34653

52,5

0,016

18,52934

18,18964

17,84653

17,5

16,36569

16,02934

15,68964

15,34653

47,5

14,1987

13,86569

13,52934

13,18964

12,84653

12,5

12,05241

11,73283

11,36569

11,02934

10,68961

10,34653

42,5

9,975935

9,658943

9,26024

8,927471

8,529345

8,189638

7,846535

8,015471

7,687618

7,285476

6,939675

6,511311

6,155919

5,689638

5,346535

37,5

6,210491

5,877035

5 19624

5,141786

4,728753

4,352501

3,876839

3,485565

2,846535

4,600594

4,281332

3,938053

3,(Ю0486

3,232397

2,871997

2,459606

2,070626

1,546642

1,143564

32,5

2,647781

2,355079

2,(61135

1,74779

1,427594

1,113621

0,763501

0,456294

1,187463

0,%3614

0,742513

0,532283

0,329068

0,157218

27,5

0,337589

0,220145

0,120385

0,046231

0,036596

0,011443

22,5

17,5

12,5

Рис. Ю.5



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [ 161 ] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175