25,0

S + AS

22,8465

22,5

20,0 t + At = T

Время

Рис. 10.6

S-AS

Затем эти три верхних конечных значения подставляются в уравнение (П. 10.4) наравне с величинами 5 , AS, At, волатильностью й безрисковой процентной ставкой. Значение S - это значение, находящееся в самом левом столбце решетки и соответствующее среднему значению конечных стоимостей опциона во время Г, т.е. 57,5 для нашей тройки.

Непосредственный расчет показан ниже. At = 0,1, г = 0,10, AS = 2,50 и a = 0,20. Если S = 57,5, то S + AS = 60,0 и S-AS = 55,0. Цена исполнения опциона равна 35, а соответствующие значения цен опциона на момент времени Т - 25, 22,50 и 20. Подставив эти значения в уравнение (П.10.4), получим:

Wtt.S) =

1 +(0,1 0,1)

57,5 2,5

(5L50,22 +0,ll25.

v 2,5 ;

224 +

57,5 24

(од2-0,1)20

22,8465

Следовательно, стоимость опциона на покупку в точке W(S,t) в решетке равна 22,8465. Этот процесс повторяется после смещения на одну ячейку вниз, т.е. используются три соответствующих значения для момента времени / + At. В нашем примере эти значения - 22,5, 20 и 17,5. Далее, подставив эти значения в выражение (П.10.4), получим стоимость опциона 20,3465. Т.е. мы просчитываем значения, двигаясь от ограничивающих условий к левому краю решетки до тех пор, пока не достигнем текущего временного периода и цены опциона 4,6006. Аналогия ме-

жду этим методом и биномиальной и триномиальной моделями, обсужденными в гл. 8, должна быть очевидна.

Заметим, что может быть необходимо использовать следующие ограничивающие условия:

W(t,Q) = 0 для опциона на покупку, или X для опциона на продажу (X - цена исполнения),

Для больших S W(t, S) - S-Хцля опциона на покупку, или 0 для опциона на продажу.

Для Американского опциона на покупку на каждом этапе вычислений рассчитанное значение W(t,S) сравнивается с S-X (X-S в случае опциона на продажу) и заменяется на него, если S-X (X-S) больше.

Это сходно с ранним примером и иллюстрирует гибкость численного подхода в возможности справиться с опционами, отличными от самых простых и элементарных.

Сближение и устойчивость

Определенный метод конечной разницы позволяет найти цены опционов для любых комбинаций цен активов и временных интервалов до момента исполнения. Однако численные методы порождают проблемы, связанные с многочисленными повторяющимися округлениями результатов, которые могут привести к серьезным отклонениям при расчете соседних значений и/или отрицательным результатам, т.е. неустойчивости.

Сравним значение 4,6006 со значением 4,57 для десятиступенчатой биномиальной модели и со значением 4,64 для модели Блэка-Сколса. Как следствие, возникает необходимость в увеличении точности наших приближенных оценок. Как и в биномиальной модели, мы можем рассмотреть сокращение временных интервалов и интервалов между значениями S в сетке (т.е. вертикальных интервалов в вышеприведенной схеме, известных как размер сетки), чтобы уменьшить ошибки приближенных вычислений и приблизиться к реальному результату.

К счастью, можно доказать, что две цели - достижение сближения и избежание неустойчивости - могут быть достигнуты при условии, что если при проделанных сокращениях для временных интервалов и размера сетки значение отношения AS/S останется между 0 и 0,5. Это, однако, порождает свои проблемы, так как видно, что уменьшение размера сетки в два раза должно быть компенсировано сокращением временного шага в четыре раза, а время вычислений увеличится соответственно в восемь раз.

Неопределенный метод конечной разницы

На практике требуется большое количество точных результатов, поэтому вычислительная эффективность становится особенно важной. Альтернативный подход - неопределенный метод конечной разницы - использует следующие более явные и более точные конечные разностные приближения для частных производных:

SW и W(t + At,S)-W{t,S) St At

SIV и W(t,S + AS) - W(t,S- AS) 85

AS)

W(t,S + AS) - 2W{t,S) + W(t,S -

(П.10.5)

5S1 AS1

Если в определенном методе конечной разницы точная формула изменятся с учетом W(t + At, S + AS), W(t + At, S) и W(t + At, S-AS), to в неопределённой версии мы должны решить систему уравнений, чтобы найти W(t, S). Это необходимо потому, что структура разностей имеет вид, показанный на рис. 10.7

Рис. 10.7

Значение в заштрихованной ячейке будет участвовать в определении трех индивидуальных приближенных оценок, как показывают три отдельные стрелки. Это означает, что обратный итерационный процесс, начинающийся с известных значений в момент времени t + At, будет