включать в себя решение системы уравнений. Количество решаемых уравнений является функцией от размера сетки.

Заметим, что, как и раньше, может быть необходимым использовать верхнее и нижнее ограничивающие условия:

Иг.О) = 0 для опциона на покупку, или X для опциона на продажу (X - цена исполнения).

Для больших S W(t,S) = S-X для опциона на покупку, или 0 для опциона на продажу.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10.2:

Получение уравнения Блэка-Сколса

с использованием ожидании

Мы можем рассчитать стоимость опциона как ожидание - вероятностно взвешенную сумму. Мы осуществим вывод уравнения для опциона на покупку и приведем результат для опциона на продажу. Предпримем элементарный подход, который будет содержать неизбежно скучную алгебру.

Вспомним, что стоимость Европейского опциона на покупку на момент исполнения равна max(0,5j-X), где X - это цена исполнения.

Е (стоимость в момент времени 7) = j (5y - X)f(Sf)dSf =

= J(5 - X)f(S)dS (это известно как X стохастический

оо оо интеграл)

= Sf(S)dS-Xf{S)dS,

где / - функция плотности вероятности для ST.

Найдем отдельно каждый интеграл. Начнем со второго, так как он легче:

jxf(S)dS = jf(S)dS

= X 1- N

ЫХ- In5X0 +

так как S логнормально распределена, N возвращает левостороннюю вероятность стандартного нормального распределения (см. рис. 10.8):

Рис. 10.8

Первый интеграл труднее, так как необходима подстановка W= 1п5, что, как следствие, обяжет нас отыскать функцию плотности вероятности для И7 (см. рис. 10.9)

S lnS

Рис. 10.9

= ЩъБ), тогда

/(5) = и(1п5) *

j е

где п - функция плотности вероятности для нормального распределения.

00 00

(w - a)

a = lni +

I 2b7 )

dw =

( i\

ix - -j И b = ajT-t

1 e I - (v>1 - 2aw + a1 - 2wb2)

dw i

- [(w - (a + j>2))2 - 2ab2 - b4]*

dw =

J

-0v-(a + 62))2l

V z У

dw =

-(VY-(fl + A2))2

= exp

I 262 ))

= exp In 5 + ц--

(T-/) +

а2(Г-0

1 - jV

lnA-lnJ-

e TS

. S f in--

IX + -

(T-t)

\ - J

= e TSN

S lnJ +

u + -

(T-t)