Таким образом, ожидаемая стоимость опциона в момент времени Т - это eu(T-,>S(t)N(d])-XN(d2), где

inf + Gi + 5 )<r-o 1п.- + <ц-2г><7,-0

= -=4=- И((2:--*-==J=- .

И в заключение мы должны осуществить дисконтирование и привести стоимость к настоящему времени t. Но здесь существует проблема - что использовать в качестве ставки дисконтирования?

Если норма отклонения ц основного актива больше безрисковой ставки г, то доход по ценной бумаге будет более высоким, но и при более высоком риске. В этом случае мы сможем рассчитать ожидаемую будущую стоимость опциона, но не сможем дисконтировать ее, чтобы получить текущую стоимость, поскольку неизвестно, какой ставкой дисконтирования следует воспользоваться.

Тот факт, что дифференциальное уравнение Блэка-Сколса для цены производного финансового инструмента не содержит р, предполагает, что и решение (стоимость производного финансового инструмента) будет независимо от ц. Таким образом, мы можем обойти нашу трудность, переместившись в абстрактный безрисковый мир, где арбитражные операции обеспечат безрисковый доход для всех ценных бумаг. Это не повлияет на цену опциона на ценную бумагу.

Следовательно, мы можем определить стоимость опциона с помощью расчета его ожидаемой стоимости, допустив, что ценная бумага имеет норму отклонения г, а не , и дальнейшего дисконтирования по безрисковой ставке г.

Тогда текущая стоимость опциона на покупку ценной бумаги определяется следующим образом:

e-VrS(0Mtfi)-A7V(</2)) = S(f)N(dx)-Xt-rTN(d2).

Это и есть уравнение Блэка-Сколса.

МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ: АНАЛИЗ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ И ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Введение

Анализ главных компонент

Гипотетический пример с двумя активами

Пример анализа доходности FTSE 100, государственных облигаций, S&P500 и обменного курса валют

Пример стандартизованных переменных

Интерпретация главных компонент Применение на рынках облигаций Факторный анализ

Теория арбитражного ценообразования Упражнения

Список используемой н рекомендуемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

Анализ главных компонент и факторный анализ - это методы анализа структуры данных в рамках многофакторности. Вместе с множественной регрессией (см. гл. 6) и многофакторной корреляцией в рядах динамики (см. гл. 8) эти методы наиболее часто используются в многофакторном анализе. Они отличаются от множественной регрессии тем, что целью регрессии является определение связи между экзогенной переменной и множеством эндогенных переменных. В случае анализа главных компонент и факторного анализа исследуется взаимоотношение только между эндогенными переменными. В отличие от корреляции в рядах динамики отношения между эндогенными переменными не обязательно должны быть устойчивыми.

В финансах и общественных науках, как и во многих других сферах, часто необходимо определить характеристики многофакторных структур. К двум таким характеристикам относятся:

изменчивость многофакторной структуры;

корреляция или коллинеарность переменных.

Обычно некоторые переменные будут иметь сильное влияние на общее изменение структуры, в то время как другие будут влиять слабо или же незначительно.

Одна из трудностей состоит в*том, чтобы определить, какие переменные включать в модель и соответственно измерять. Например, если две переменные обладают идеальной корреляцией, то можно обойтись одной из них - вторая не несёт в себе никакой дополнительной информации. Это аналогично проблеме мультиколлинеарности во множественной регрессии.

В общем бывает неясно, какие переменные следует включить и какие исключить из рассмотрения, и возникает потребность в механизме отбора переменных или их комбинирования, таким образом, чтобы они включали всю доступную информацию наиболее эффективным образом.

Анализ главных компонент (principal components analysis) применяется при анализе изменчивости многофакторных структур. Факторный анализ (factor analysis) используется при анализе корреляции между переменными в многофакторной структуре. Оба метода основываются на анализе дисперсионно-ковариационной матрицы, поскольку она содержит всю информацию о том, в какой мере исследуемые переменные изменяются вместе, т.е. в какой мере дублируют или дополняют друг друга. В этой главе мы будем обозначать дисперсионно/кова-риационную матрицу буквой С.

Хотя в методе главных компонент и факторном анализе используется дисперсионно-ковариационная матрица, они отличаются от анализа дисперсии - математического ожидания, рассмотренных в гл. 4 и 9, тем, что анализ дисперсии - математического ожидания измеряет общую изменчивость группы переменных без определения особого вклада подгруппы переменных в эту изменчивость. Метод главных компонент определяет и ранжирует подгруппы по их вкладу в совокупную изменчивость. Каждая из этих подгрупп - это главная компонента и определяется степенью ковариации между компонентами подгруппы. Вклад каждой из главных компонент в совокупную изменчивость ранжируется согласно совокупной дисперсии подгруппы.