При использовании анализа главных компонент, общая изменчивость данных находится как сумма собственных значений (которая будет равна сумме элементов на главной диагонали С, известной как ее след). Затем компоненты (линейные комбинации переменных) выбираются в порядке убывания собственных значений, пока главные компоненты не будут отвечать за достаточно большую долю изменчивости. Таким образом, размерность системы признаков снижается и определяются наиболее важные компоненты (направления).

В этой главе потребуется вспомнить математические действия над матрицами, описанные в приложении к гл. 6, применительно к определению дисперсии портфеля.

Из гл. 2 мы знаем, что дисперсия портфеля равна сумме взвешенных ковариации каждой пары активов, где дисперсия считается ковариацией актива с самим собой. Представим портфель, состоящий из двух активов А и В. Дисперсия доходности актива А равна 0,00015, дисперсия доходности актива В равна 0,00025, и ковариация между А и В равна 0,00005. Дисперсионно-ковариационная матрица С будет иметь вид

0,00015 0,00005 0,00005 0,00025

(11.0)

Если мы предполагаем, что доли ценных бумаг в портфеле равны, то дисперсия портфеля будет определяться умножением матрицы С на горизонтальный вектор весов 1 х л и затем доум-ножением полученной матрицы на вертикальный вектор весов п х 1. Таким образом будем иметь

[0,5 0,5]

0,00015 0,00005 0,00005 0,00025

0,5 0,5

= 0,000125. (11.1)

Следовательно, общая дисперсия портфеля равна 0,000125.

АНАЛИЗ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ (АГК)

Метод главных компонент применяется в двух целях. Первая - это уменьшение размерности данных с многих до нескольких переменных. Это достигается путем определения групп перво-

начальных переменных таким образом, чтобы члены группы обладали корреляцией между собой, но группа в целом была бы линейно независима от других переменных или групп переменных. Линейно независимые группы переменных называются главными компонентами.

Вторая цель, обусловленная стервой, - это интерпретация данных. Это становится возможным благодаря тому, что метод главных компонент определяет линейные комбинации переменных и выстраивает их в порядке убывания их влияния на совокупную дисперсию первоначальных данных. Таким образом, первая главная компонента будет являться линейной комбинацией переменных, обладающей наиболее высокой дисперсией, вторая компонента - это линейная комбинация со второй по величине дисперсией и т.д. Это делает возможным объяснить большую часть дисперсии наименьшим возможным количеством компонент.

Существует множество ситуаций в финансовой практике, когда желательно определить наиболее важные переменные или линейно независимые комбинации переменных, которые делают наибольший вклад в уровень риска. В нашем примере портфеля из двух активов будут только две компоненты. Однако в большом портфеле из п переменных будет п главных компонент. Некоторые из компонент будут обладать высокой корреляцией с другими, так что подгруппа в целом будет влиять на степень риска независимо от влияния других переменных или групп переменных. Метод главных компонент позволяет нам определить эти независимые линейные комбинации переменных и их влияние на совокупную дисперсию. Мы, таким образом, получаем более полное представление о том, что влияет на уровень риска и, следовательно, получаем возможность лучше управлять рисками.

Анализ главных компонент представляет собой скорее средство, чем цель. Например, определение главных компонент может служить для построения уравнения регрессии, так что зависимая переменная регрессируется не по первичным независимым переменным, а по главным компонентам. Далее в этой главе мы увидим, как определение главных компонент в изменениях процентных ставок позволяет нам лучше измерить процентный риск портфелей облигаций.

Сначала мы рассмотрим метод главных компонент на примере портфеля из двух инструментов, используя гипотетические

данные из уравнения (11.1), приведенного выше. Затем, чтобы лучше понять этот материал, мы рассмотрим пример портфеля из четырех активов с использованием реальных данных, и в конце мы рассмотрим, как эта методика может использоваться для определения риска облигации.

Гипотетический пример с двумя активами

Использование АГК позволяет нам извлекать из дисперсионно-ковариационной матрицы число линейных комбинаций дисперсий и ковариации активов, которое объясняет ковариационность активов, причем, каждая комбинация не зависит от других комбинаций. Это возможно благодаря тому, что симметричная структура дисперсионно-ковариационной матрицы позволяет это сделать при помощи процесса диагонализации. Диагонализация - это процесс, при помощи которого мы определяем линейные комбинации переменных, дисперсий и ковариации, в данном случае независимых от других линейных комбинаций. Процесс включает три стадии:

1. нахождение собственных векторов и соответствующих собственных значений;

2. построение трех матриц Q, D и Q~l;

3. определение линейных комбинаций из собственных векторов, ранжирование комбинаций в порядке убывания собственных значений.

Первая стаппя: нахождение собственных векторов п собственных значений

Первая стадия - это нахождение собственных векторов и соответствующих собственных значений дисперсионно-ковариационной матрицы С. Мы должны найти собственные векторы, потому что они дают нам линейно независимые комбинации переменных - главные компоненты, которые влияют на совокупную дисперсию. Мы должны найти собственные значения, потому что они показывают, за какую долю совокупного риска отвечает каждая главная компонента.

Математически собственные векторы - это векторы Х каждый из которых обладает соответствующим скалярным зна-

I 7 v ...... -