что приводит к следующему

[0.383ЛГ + 0,924Г 0,924Г - 0,383ЛГ]

0,000271 0

0 10,383 + 0,924Г 0,000129о,924Г - 0,383*

На основе вышеприведенного примера диагонализации мы можем определить линейные комбинации переменных X и У, которые независимо друг от друга влияют на дисперсию всего портфеля. Эти комбинации определяются собственными векторами. Таким образом, в нашем примере 0,383* + 0,924У представляет собой одну линейно независимую комбинацию, и 0,924 У - 0,383*- другую.

Мы должны иметь возможность ранжировать собственные векторы согласно их важности для общей дисперсии всего портфеля. Ранжирование производится согласно собственным значениям. Собственный вектор с наибольшим собственным значением дает наибольший вклад в совокупную дисперсию, собственный вектор, оказывающий второе по важности влияние, обладает вторым по величине собственным значением, и т.д.

Доля совокупной дисперсии, которая приходится на счет каждой комбинации переменных, равна доле соответствующего собственного значения в сумме всех собственных значений. Сумма собственных значений задается суммой элементов главной диагонали в матрице D. В нашем примере сумма собственных значений равна 0,000400. Таким образом, собственный вектор с собственным значением, равным 0,000271, отвечает за 0,000271/0,000400, или, 67,75% совокупной дисперсии.

Пример анализа аохоаности FTSE100,

государственных облигации.

S&P 500 и обменного курса валют

Рассмотрим портфель, содержащий в равных долях четыре актива - индексы FTSE 100 и S&P 500, британские государственные облигации и обменный курс фунт/доллар. Используя ежемесячные значения доходности за период с сентября 1989 по декабрь 1993, получаем следующую дисперсионно-ковариационную матрицу:

Облигации FTSE

S&P Доллар/Фунт

Облигации

FTSE

S&P

Фунт/Доллар

5,5884 1,6749 0,:

1,6749 22,3660 10,1

0,2233 10,0886 10,

-1,0528 -5,5765 -0,:

0,2233 -1,0528

10,0886 -5,5765

10,7730 -0,5839

-0,5839 16,2161

Четыре собственных значения и собственный вектор будут составлять:

собственные значения: X, = 30,25,72; = 14,8258; Х3 = 5,61280; Ац = 4,2477; собственные векторы:

Первому собственному вектору соответствует собственное значение, равное 30,2572, и он отвечает за 55,07% совокупной дисперсии. Второй собственный вектор с собственным значением, равным 14,8258, отвечает за 26,98% совокупной дисперсии. Третий и четвертый собственные векторы имеют собственные значения 5,6128 и 4,2477 соответственно и отвечают за 10,22% и 7,73% совокупной дисперсии.

Пример стандартизованных переменных

Одна из проблем, связанных с методом главных компонент, состоит в том, что различные данные обладают разными порядками величины. Читатель, наверное, помнит, что это проблема ковариации вообще. Заключается проблема в том, что величина ковариации является функцией величины данных, так же как и разность X и X. Читатель, возможно, помнит, что предлагаемое решение состояло в определении коэффициента корреляции, который, по сути, представляет собой стандартизованную кова-риацию.

Подобная проблема может появиться при использовании метода главных компонент, базирующегося на ковариационной матрице, составленной из нестандартизованных данных. По этой причине, в случае если данные по разным переменным обладают

0,074904 1 -0,058582] 0,921233 1 0,377235 0,824166 0,199571 -0,153459 -0,507399 0,438093 0,362687 -0,322417 -0,756690 гО,351135 [ 0,908404 J[oO,154422,J[-0,166314

величинами разного порядка или используются различные единицы измерения для разных переменных, обычно данные стандартизируют перед применением метода главных компонент.

В следующем примере исходные данные о доходности были стандартизованы, поскольку дисперсии и ковариации разных переменных существенно различаются между собой. Стандартизация производилась следующим образом:

значения будут следующими:

собственные значения: Xt = 1,76345; Х2 0,29764;

собственные векторы:

1,05032; Х3 = 0,88860; Х4 =

0,205868] 0,688288 0,612746 0,329272]

0,698552 0,102372 0,424376

0,679614 0,010147 0,166887

0,566966Jl 0,714262

- 0,088133 0,718106

- 0,645443

0,244866 ,

Поскольку переменные были стандартизованы перед анализом, сумма собственных значений будет равна четырем, поскольку мы имеем четыре переменные. Принимая это во внимание, соответствующий вклад каждого из собственных векторов в совокупную дисперсию составит:

Xi = 44,09; Х2 = 26,26; А,3 = 22,22; Х4 = 7,44.

Следует отметить, что процесс стандатризации не является непоследовательным, так как величина собственных векторов и собственных значений, найденных на основе стандартизованных данных, будет отличаться от таковых, найденных на основе не-стандартизованных данных. В вышеприведенном случае, например, при использовании исходных данных, первая главная ком-