времени г равен Дг + wf. Теперь рассмотрим инвестирование $1 в момент времени / в облигацию со сроком погашения t + At +wt и продажу ее в момент времени t + Дг. Изменение стоимости инвестиции за время обладания облигацией и будет доходностью за этот период. Доходность будет определяться как приближением срока погашения, так и изменением временной структуры и восприятия рынком характеристик облигации.

Теперь рассмотрим инвестирование $1 в дисконтную государственную облигацию со сроком погашения t + At. Доходность этой инвестиции будет абсолютно определенной, и, следовательно, безрисковой. Вычитая безрисковую доходность из доходности облигации со сроком погашения t + Дг + wt, получаем избыточную доходность денежного потока с погашением в вершине f + Дг + щ. При вычислении безрисковой доходности из доходности облигации со сроком погашения t + At + wt любое изменение стоимости облигации из-за приближения срока погашения будет удалено. Таким образом, полученная добавочная доходность является чисто стохастическим элементом.

Если мы соберем временные ряды доходностей за период владения для каждой вершины временной структуры, то мы сможем построить дисперсионно-ковариационную матрицу избыточных доходностей.

Из полученной дисперсионно-ковариационной матрицы мы находим собственные векторы и связанные с ними собственные значения. На рынке государственных облигаций три главные компоненты отвечают за 99% риска временной структуры. В вышеупомянутых исследованиях Кана, Кана и Гульраджани и Карки и Рейеса первая компонента может быть интерпретирована как изменение общего уровня временной структуры аналогично параллельному смещению, вторая компонента - как изменение угла наклона кривой временной структуры, третья компонента - как изменение изгиба кривой временной структуры.

Чтобы объяснить, как эта модель может использоваться при определении риска купонной облигации (с ненулевым купоном), рассмотрим сначала, как мы можем использовать математические действия над матрицами для нахождения совокупной дисперсии облигации с пятью ежегодными платежами - CF\, CF2, CF3, CF4 и CF$ соответственно. Совокупная дисперсия V будет

[CFi CF2 CF3 Cf4 CF5]

vari COV12 COV13 COV14 COV15

cov2i var2 cov23 cov24 cov25

cov31 cov32 var3 COV34 cov35

COV41 cov42 COV43 var4 COV45

COV51 CO%g2 cov53 cov54 var5

CF2 CF3 CF<

= V.

(11.11)

Теперь, используя метод главных компонент, определим темы совместных изменений, которые имеют влияние на дисперсию, преобразуем дисперсионно-ковариационную матрицу в группу из трех матриц Q, D и Q~l и определим совокупную дисперсию, умножая вектор весов 1 х п на матрицы Q, D и Q~x n х п и затем полученное произведение - на вектор весов их 1:

\CF{

Щ CF2 CF3 CF4 CF5]QDQ-1

CF2 CF3 CF, CFS

(11.12)

Как мы уже говорили, Q - это матрица собственных векторов, ранжированных слева направо в порядке убывания соответствующих собственных значений. Таким образом, в уравнении (11.13) с EV\(\) по EV\( ) - это элементы первого собственного вектора с 1 поп.

Таким же образом, умножая вектор размера денежных потоков на матрицу Q, мы получим вектор разложения отдельных денежных потоков по облигации по влиянию главных компонент:

[CFi, CF2, CF3, CFA, CF5, 0 0 ... 0 ]

1(2)

i(i)

n(2)

(11.13)

Заметьте, что вектор денежных потоков включает помимо действительных денежных потоков по рассматриваемой облигации ряд нулей. Эти нули относятся к тем вершинам временной структуры, влиянию которых у данной облигации нет подверженных денежных потоков. Это необходимо для того, чтобы было возможно производить математические действия над матрицами.

Таким образом, произведение вектора денежных потоков и первого собственного вектора даст нам единичную меру (статистическое резюме) подверженности облигации влиянию первой компоненты. Произведение вектора денежных потоков и второго собственного вектора даст нам подверженность облигации влиянию второй компоненты и т.д. Полученный вектор подверженностей будет:

[expi, ехр2, ехрз, ехр4, ехр5, 0 0 0 ... 0].

(11.14)

D - это диагональная матрица, где элементы диагонали являются собственными значениями (X), записанными в порядке убывания. Умножая транспонированный вектор подверженностей на матрицу D и затем умножая это произведение на вектор подверженностей, мы получаем совокупную дисперсию, выраженную через главные компоненты следующим образом:

[ехр1,ехр2,ехрз,ехр4,ехр5, 0 0 0 ... 0 ]

X 0 0? *2

=v. (11.15)

expj ехр2 ехрз ехр4 ехр5 0

°

Дисперсия может быть выражена в виде суммы произведений собственных значений и соответствующих подверженностей:

К= (ехр,2 ХО + (ехр22 Х2) +... + (ехр 2 Х ). (11.16)

Таким образом, рискованность облигации является функцией от собственных значений каждой главной компоненты и подверженности денежных потоков влиянию каждой из главных компонент.

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Факторный анализ (ФА) представляет собой иной способ толкования структуры дисперсионно-ковариационной матрицы. Чтобы уяснить использование ФА, мы должны начать с более