ожидаемых платежей по безрисковым облигациям. Продемонстрируем это.

Рассмотрим табл. 1.4, содержащую информацию о месячном межбанковском депозите, трехмесячном казначейском векселе и ряде облигаций со сроком до погашения от 0,5 до 3 лет. Шестимесячные и одногодичные облигации - облигации с нулевым купоном, облигации со сроком до погашения 1,5-3 года - купонные облигации.

Используя информацию первых трех колонок табл. 1.4, можно построить кривую доходности.

Первое, что нужно сделать, - это привести начисляемую доходность по банковским депозитам к соответствующей спот-ставке. Необходимо также учесть различие в соглашениях по подсчету дней при применении уравнения (1.30). Затем мы должны скорректировать месячную начисляемую доходность и привести ее к годовой спот-ставке за соответствующий период.

Для того чтобы понять это, рассмотрим депозит с процентной ставкой 7,25% годовых на один месяц. В случае 31 дня в месяце и при методе АСТ/365 начисляемая доходность будет:

7,25-- = 0,6157.

Тогда конечная стоимость депозита будет 100,6157 единиц. Для того чтобы получить такую конечную стоимость через один месяц, мы должны вложить 100 единиц сегодня. Эквивалентная годовая спот-ставка может быть рассчитана из уравнения (1.15), которое обозначим (1.40):

Чт) -1- °40)

Таким образом, одномесячная спот-ставка равна:

(100,6157) 0,08333 , п,ллп,

0,0833 = [ 10р J - 1 = 0,07644 = 7,644%.

Заметим, что годовая эквивалентная спот-ставка больше, чем данная одномесячная ставка, вследствие того, что спот-ставка не предполагает ежемесячного наращения.

Так как по следующим двум приведенным в табл. 1.4 ценным бумагам не выплачиваются купонные платежи, их полная доходность является соответствующими спот-ставками для данных периодов. Никаких дополнительных расчетов в этом случае не требуется.

Однако инструменты со сроком до погашения 1,5 - 3 года являются купонными облигациями, и для нахождения соответствующих спот-ставок следует выполнить некоторые расчеты.

Спот-ставка для платежа через 1,5 года может быть рассчитана таким образом. Вспомним, что цена облигации - это текущая стоимость всех ожидаемых будущих денежных потоков, каждый из которых дисконтирован по соответствующей спот-ставке. Другими словами, цена полуторагодовой облигации находится дисконтированием первого полугодового купона по шестимесячной спот-ставке, годового купона - по одногодичной спот-ставке, а выкупной стоимости и последнего купона - по 1,5-годовой спот-ставке:

4,25 . 4,25 . 104,25 =991g

(1,081)05 (1-0845) (1 + jR)i.5

Нашей проблемой является то, что мы не знаем 1,5-годовую спот-ставку. Однако ее можно получить вычитанием текущих стоимостей всех купонов, кроме последнего, из цены облигации, т.е.:

99,18-

( 4,25 4,25 4

= 91,17

l(l,08l)0-5 (1,0845)J

Полученный результат 91,17 - это текущая стоимость купона и выкупной цены 104,25, дисконтированная по 1,5-годовой спот-

ставке. Следовательно, так как 91,17 = 104,25/(1 + Л)1-5, то (1 + К)1-5 -= 104,25/91,17 = 1,1434, откуда (U434)1/1-5 - 1 = 0,0934. Это и есть 1,5-годовая спот-ставка. Мы можем проверить полученный результат, разделив 104,25 на (1,0934)1,5, и получим 91,17.

Используя полученную информацию, мы можем продолжить процесс, вычисляя двухгодичную спот-ставку. Зная три спот-ставки, можно дисконтировать три первых из четырех купонов по двухгодичной облигации. Затем вычесть текущие стоимости этих купонов из текущей цены облигации. В результате получим текущую стоимость последнего купона плюс выкупная стоимость, дисконтированная по двухгодичной спот-ставке. Теперь двухгодичная спот-ставка может быть найдена точно так же, как было показано выше.

Эта процедура иногда называется поиск по линии связи (bootstrap method). Она применяется до тех пор, пока не будут найдены все необходимые спот-ставки. Однако следует сделать некоторые предостережения. Во-первых, могут быть использованы только купонные облигации без каких-либо дополнительных характеристик, таких, как, например, опционные, в противном случае рыночные цены будут отражать что-то отличное от прямых денежных потоков по облигации. Во-вторых, если доходы от прироста капитала или купонные платежи облагаются налогом по различным ставкам, необходимо принять во внимание преимущества низкодоходных облигаций при налогообложении. Данная проблема может быть решена, если принимать во внимание только недавно выпущенные облигации, но в этом случае может быть учтен не весь спектр сроков до погашения.

Метод поиска по линии связи может оказаться громоздким, когда на рынке обращается большое количество купонных облигаций с одинаковыми сроками до погашения, но с разными другими характеристиками. Поэтому для моделирования временной структуры процентных ставок с разной степенью успеха применяется ряд сложных эконометрических методов. Когда временная структура уже определена, ее элементы являются всего лишь приближенной оценкой реальной временной структуры. Следовательно, получаемые спот-ставки - это всего лишь оценочные значения реальных ставок. Как следствие, цены облигаций, рассчитанные исходя из этих оценочных значений, в свою очередь также только приближенно оценивают реальные цены облигаций.