близкого рассмотрения понятия дисперсии. Вернемся к модели определения риска портфеля Марковитца. Эта модель разделяет совокупную дисперсию на систематическую и несистематическую. Систематическая дисперсия (риск) - это такой риск, от которого нельзя избавиться при помощи диверсификации, в то время как от несистематического риска можно избавиться. По сути систематический риск;- это общий риск для всех активов в портфеле, в то время как несистематический риск уникален для каждого отдельного инструмента.

Различие между систематическим и несистематическим рисками и лежит в основе ФА. При помощи метода главных компонент мы объясняли совокупную дисперсию. При помощи же факторного анализа мы собираемся определить размер систематического риска (общности - в терминах ФА) внутри ковариационной структуры.

В анализе главных компонент мы извлекали линейные комбинации рассматриваемых переменных так, что на каждой стадии получаемая компонента объясняет наибольшую возможную долю остающейся изменчивости. В ФА мы, по сути, разбиваем совокупную дисперсию данных на две части - на ту, которая разделяется всеми переменными (общность), и ту, которая специфична для каждой отдельной переменной. Факторный анализ использует оценки общности для построения объясняющих факторов.

Для демонстрации использования ФА предположим, что мы применяем метод главных компонент, с помощью которого выявили т значимых компонент.

Затем мы пытаемся выразить каждую из первоначальных переменных как линейную комбинацию того числа факторов. Выбираются те комбинации, которые лучше всего работают - производят модель, наиболее полно объясняющую систематическую дисперсию.

Рассмотрим стандартизованную дисперсионно-ковариационную матрицу четырех активов, которые мы рассматривали в качестве примера применения метода главных компонент:

Облигации

FTSE

S&P

Фунт/Доллар

Облигации 1,0

0,1498 0,0288 -0,1106

FTSE 0,1498

S&P 0,0288 0,6499

Фунт/Доллар

-0,1106 -0,2928 -0,0442

0,6499 0,2928

1,0 0,0442

Мы помним, что матрица основывается на 51 значении месячных доходностей с сентября 1989 по декабрь 1993 гг. Также мы знаем, что вклад первых трех компонент в совокупную дисперсию составлял 93%. Таким образом, мы предположили, что существуют три значимых фактора для целей факторного анализа.

Предполагается, что каждая переменная является комбинацией этих трех факторов:

GILT = г, = Xnf + hifi + + е,

FTSE = h = Х21А + Xah + *м/з + е2

S&P = h = X3Xf + X32f2 + X33f3 + e3 (11.17)

Фунт/Доллар = tA = XMf + X42f2 + X43f3 + e4.

В результате получаем вектор переменных 4x1, матрицу значений X 4 х 3, вектор факторов 4 к 1 и вектор значений ошибки 4x1.

Теперь рассмотрим п наблюдений каждой из четырех переменных. Так, мы получаем матрицу 4 х п значений t

(11.18)

Похожим образом мы получаем матрицу 3 х л значений F

и матрицу 4 х л значений е

fill 12

(11.19)

e2l e22 e3l e32

e41 e42

Наша модель становится:

T=XF+ E

где Г- 4 x n, X - 3 x n, F-3 x n и E

eln *2n *Ъп

(11.20)

(11.21)

4 x л.

Теперь сделаем дополнительные предположения:

1. значения ft независимы;

2. значения е, независимы;

3. между ft и е,- нет корреляции.

Теперь С = ТТ7, что равно *

(XF+ E)(XF + Е)т. (11.22)

Это равно

XF(XF)T + XFFJ + E(XF)T + ЕЕТ =

= XFFTXT + XFE7 + EFTXT + EE7. (11.23)

Поскольку предполагается, что между значениями / и е нет корреляции, матрица FET является нулевой, и EF7 - также нулевая. Таким образом, уравнение (11.23) сокращается до

XFFTXT + [0] + [0] + ЕЕТ. (11.24)

Так как мы используем стандартизованные переменные, и поскольку значения / независимы, FFr становится единичной матрицей, так как корреляция F с самим собой равна единице, а ковариации предполагаются равными нулю.

Матрица ЕЕТ является диагональной матрицей с дисперсией ошибки на диагонали и с нулями в остальных ячейках. Таким образом, ковариация группы активов равна произведению факторных матриц ХиХт, прибавленных к матрице ЕЕ7. Если у нас е обозначает несистематический риск (US), то мы увидим, что

cov = XX7 +

US 0 ... 0 0 US ... 0

0 0 ... US

(11.25)

где X - это матрица 4 х 3, и Хт - матрица 3x4.

В результате получаем матрицу 4 М, в которой общности располагаются на главной диагонали. US в матрице в правой части уравнения представляет несистематический риск в ковариационной матрице. Задача факторного анализа - это решение уравнения (11.25) таким образом, чтобы ХХТ отвечало за максимально возможную долю совокупной дисперсии, в то время как диагональная матрица - за минимально возможную.