Для достижения этой цели используется итерационный процесс. Мы продемонстрируем этот процесс, показав результаты работы компьютера.

Матрица X будет

Gilt FTSE S&P Фунт / Доллар

Фактор 1 0,27338 0,91401 0,81370

- 0,43726

Фактор 2 -0,71591 0,10492 0,43492 04810.

Фактор 3 0,64064

- 0,00956. 0,15732 0,67333

Матрица ХТ

0,27338 0,91401

-0,71591 0,10492

0,64064 - 0,00956

0,81370 -0,43726 0,43492 0,58105 0,15732 0,67330

Матрица ЕЕ1 , известная как матрица общностей, имеет вид:

ЕЕТ +

0.997688 0 0 0

0.846516 0 0

0.876006 0

0 0 0

0.982154

При условии такого первоначального уточнения каждый фактор будет отвечать за следующую дисперсию:

фактор 1 = 1,1763450

фактор 2 = 1,050317

фактор 3 = 0,888597,

как это задается в ХТХ. Сумма дисперсией, соответствующих этим факторам, равна 3,702354, тогда как совокупная дисперсия равна четырем, поскольку мы используем стандартизованные переменные, т.е. три фактора объясняют 92,56% совокупной дисперсии рассматриваемого портфеля.

В то время как факторный анализ пытается определить факторы, которые объясняют наблюдения, сами факторы не могут быть непосредственно наблюдаемыми (или не находились в фокусе анализа). Таким образом, следует более сосредоточиться на понимании, чем на применении. Тем не менее, идентификация

нужных факторов полезна при определении направления последующей работы.

Чтобы еще более усложнить ФА, можно показать, что для данной совокупности факторов любое ортогональное преобразование (т.е. вращение) этих векторов будет иметь тот же самый эффект. Следовательно, мы вольны выбирать, какие из доходностей представляют собой наиболее значимый результат. Процедура, известная под названием варимаксной (varimax procedure), применяется для того, чтобы выбрать факторы так, что нагрузка одних факторов велика, а других - мала. Это связывает переменные с меньшим числом более различающихся факторов.

В качестве примера рассмотрим применение варимаксной процедуры в нашем случае.

Во-первых, мы строим матрицу ортогонального преобразования :

0,91024 0,39490 0,12454

- 0,35424 0,58692

0,72804

0,21441 0,70681 0,67413

Мы умножаем эту матрицу 3 х 3 на первоначальную матрицу X 4 х 3. В результате процесса вращения получаем новую матрицу X

Gilt

FTSE S&P Фунт/Доллар

Фактор 1 Фактор 2 Фактор 3

0,04591 -0,05062 - 0,99650

0,87221 -0,26917 -0,11537

0,93200 0,08155 0,02689

-0,08470 0,98612 0,05055

Эти факторы имеют следующую интерпретацию. Фактор 1 практически не включает государственных облигаций, имеет малое отрицательное число элементов валютных курсов, но включает большую комбинацию обоих фондовых индексов. Наибольший элемент фактора 2 - это обменные курсы, при том, что этот фактор практически не имеет государственных облигаций и индекса S&P500 и только очень малую долю FTSE 100. Фактор 3 имеет большой отрицательный элемент государственных облигаций, а все остальные элементы очень малы.

Новая матрица Хг будет:

0.04591 0.87221 0.93200 - 0.08470

Хт = - 0.05062 - 0.2917 0.08155 0.98612

0.99650 0.11537 - 0.02689 - 0.05055

Матрица ЕЕТ в результате этого процесса не изменяется. Дисперсия, объясняемая каждым фактором, теперь составляет:

фактор 1 = 1,638670

фактор 2 = 1,054089

фактор 3 = 1,009606

(опять задается ХТХ). Сумма этих чисел равна 3,702365, таким образом, эти три фактора по-прежнему объясняют 92,56% совокупной дисперсии.

ТЕОРИЯ АРБИТРАЖНОГО ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

Обычно вышерассмотренный процесс применяется при проверке теории арбитражного ценообразования (ТАЦ) (arbitrage pricing theory).

Теория предполагает, что на рынке, где возможен арбитраж, все активы со схожими характеристиками будут иметь схожие цены, поскольку действия арбитражеров будут устранять все различия.

ТАЦ предполагает, что поскольку инвесторы владеют широко диверсифицированным портфелем ценных бумаг, только систематический риск оценивается на рынке. Однако систематический риск является функцией от нескольких факторов. Эти факторы не определены теоретически, но должны быть определены путем эмпирического исследования. Теория арбитражного ценообразования утверждает, что существует множество рассматриваемых факторов риска, которые вместе отвечают за наблюдаемую изменчивость доходности актива. Из этого предположения вытекает, что ожидаемое значение доходности (изменения цены) является линейной комбинацией значений факторов, которое измеряет подверженность актива влиянию каждого фактора риска.

Эти факторы риска ненаблюдаемы - мы можем знать только историческую информацию о доходности - но можем использовать факторный анализ для оценки влияния каждого фактора и отсюда премии за риск, связанный с каждым фактором риска.