Например, рассмотрим рынок, где существуют три фактора риска: Fi, F2 и F$. Трехфакторная модель доходности актива соотносит ожидаемую доходность конкретного инструмента с ограниченным числом экономических факторов и некоторыми идиосинкратическими элементами

Rit = rf+ b,iFu + ЬйРь + baF3i + еи, (11.26)

где rf - безрисковая доходность;

R,t - доходность актива / в момент времени г; bit - факторные нагрузки;

е, - идиосинкратические элементы влияющие на ценную

бумагу /; Flt - премия за риск фактора /.

Существуют два важных статистических допущения в отношении к этой модели. Первое допущение - значения е не зависят друг от друга. Другое предположение - значения F также независимы.

Есть два источника риска, связанного с владением определенной ценной бумагой. Первый источник - это макроэкономические факторы, которые оказывают влияние на все ценные бумаги. Эти факторы составляют систематический риск. Второй источник - это характерный риск, уникальный для каждой ценной бумаги, и диверсификация может снизить уровень этого риска. Таким образом, на эффективном рынке будут выплачиваться премии только за риск, связанный с систематическими (макроэкономическими) факторами.

Поскольку эти факторы риска оказывают влияние на все активы, то доходность для каждого из этих факторов риска является рыночной ценой несения этого риска. Следовательно, доходность для каждого фактора одинакова для всех активов. Другими словами, вознаграждение за принятие на себя определенного типа риска устанавливается рынком. Однако степень, в которой актив подвержен данному типу риска зависит от характеристик самого актива. Другими словами, эта подверженность влиянию фактора или факторная нагрузка значения 6, будет уникальной для каждого актива.

Систематический риск отдельного актива определяется за-груженноситью фактора и ковариациями доходностей факторов. Систематический риск портфеля ценных бумаг определяется на основе ковариации доходностей факторов, загруженности факторов и удельного веса каждого актива в портфеле.

Для того чтобы теорию арбитражного ценообразования можно было успешно использовать, необходимо составить управляемый, т.е. относительно короткий список факторов, по которому возможно измерить ожидаемые премии за риск, связанные с каждым фактором. Для этого нужно иметь возможность оценить неожиданные изменения фактора. Следовательно, некоторые применения, по сути, моделируют неожиданные значения фактора, моделируя ожидаемое значение и вычитая его из действительного. Считается, что временные ряды некоторых факторов имеют такие шумы, что изменение данных само по себе является адекватной мерой неожиданного изменения.

Также необходимо иметь возможность измерить чувствительность каждой ценной бумаги к каждому фактору. К тому же эти чувствительности должны быть достаточно стабильными.

Ролл и Росс (Roll and Ross) (1980) использовали ФА и обнаружили, что всего лишь три, или, возможно, четыре фактора объясняли процесс формирования доходности американских ценных бумаг. Однако, Дримес, Френд и Гультекин (Dhrymes, Friend and Gultekin) (1984) отметили, что число факторов может зависеть от количества ценных бумаг в каждом портфеле.

Результаты проверки британского рынка с применением факторного анализа были неубедительными (незаконченными?). Бинсток и Чэн (Beenstock and Chan) (1986) выявили 20 факторов, которые объясняют доходность ценных бумаг. Более того, Диакоджианнис (Diacogiannis) (1986) обнаружил, что факторы были нестабильными во времени для идного и того же портфеля. Оба эти исследования показали, что число факторов зависит от того, как много ценных бумаг включено в каждый портфель.

Дальнейшее исследование британского рынка Абейсейкеры (Abeysekera) и Махаджана (Mahajan) (1987) привело к выводу, что они не смогли определить единый состав факторов для семи портфелей, рассматриваемых в исследовании.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Объясните, как вы понимаете понятия факторный анализ и анализ главных компонент . Определите разницу между двумя процессами.

2. Что такое собственные векторы и собственные значения? Каково их значение в факторном анализе и анализе главных компонент.

3. Используя методы, продемонстрированные в этой главе, и следующую дисперсионно-ковариационную матрицу 2x2, постройте собственные векторы и найдите собственные значения.

4. Нормализуйте собственные векторы из п. 3.

5. Постройте матрицы QDQ~l относящиеся к матрице из п. 3. Проверьте, является ли С - QDQ~l.

6. Найдите подверженности, выраженные как линейные комбинации переменных X и Y для дисперсионно-ковариационной матрицы из п. 3.

7. Объясните, как использовать стандартизованные переменные в анализе главных компонент.

8. Используя только обозначения, объясните, как использовать метод главных компонент при анализе составляющих дисперсии четырехлетней купонной облигации с ежегодными выплатами по купонам.

9. В контексте факторного анализа объясните, что вы понимаете под термином общности .

10. Объясните, как факторный анализ применяется в теории арбитражного ценообразования.

0,00020 0,80006 0,00006 0,00030

ОТВЕТЫ

Первый собственный вектор равен

2,135

Первое собственное значение равно 0,00033.

Второй собственный вектор равен

-0,468

Второе собственное значение равно 0,00017. 4. Нормализованные собственные векторы равны:

0,424] Г 0,906

0,906 -0,424