Ипотечные сошы п аннуитеты

Ипотечные ссуды. Одна из черт ипотечных ссуд заключается в том, что при определенной процентной ставке периодические выплаты являются фиксированными равноразмерными за весь срок ссуды. Если процентные ставки периодически пересматриваются (плавающие процентные ставки), меняются и периодические выплаты, но по-прежнему они будут равными в каждом из периодов вплоть до следующего изменения процентных ставок. Периодические платежи (обычно ежемесячные) состоят из основной суммы долга и процентов. Сначала, когда основная сумма долга принимает свое максимальное значение, ежемесячные платежи состоят в основном из начисляемых процентов, доля выплачиваемой основной суммы составляет лишь незначительный процент от платежей. Со временем, при уменьшении основной суммы, доля ежемесячных платежей, необходимая для покрытия начисленных процентов, снизится, а доля периодических выплат, отведенная под погашение основной суммы, возрастет. Каждый раз, когда процентная ставка меняется, необходим пересчет периодических платежей, которые покрывают проценты и направляются на выплату основной суммы долга, на оставшийся срок ипотеки.

Для иллюстрации того, как это происходит, рассмотрим прежде всего расчет равных годовых платежей, необходимых для выплаты ипотечной ссуды в £ 100000 с процентной ставкой 10% годовых (ежегодное наращение), взятой на 20 лет.

Начнем с первого года и первоначального долга £ 100 000. Проценты за первый год могут быть рассчитаны как произведение суммы долга и множителя 1,10, после чего из результата вычитается ежегодный платеж. Если обозначить этот платеж через £ X, тогда долг на начало второго года составит 100 000 1,10 - X.

Применяя этот же способ к полученному результату, найдем значение долга на начало третьего года:

((100 000 1,10) - X) - 1,10 - Х= 100 000 1,102 - 1,10*- X.

Заметьте, что аргументы в скобках умножены на 1,10. Повторив эту процедуру 20 раз, мы получим выражение для долга на начало 21-го года, который должен быть равен нулю:

100 000 1,10м - uo19*- uo18*- 1,10 *- ... ... - 1,102*- 1,10*- *= 0; 100 000 1,1020 - *(1,1019 + 1,1018 + ... + 1,102 + 1,10 + 1) = 0.

Переставив слагаемые в скобках в порядке возрастания, получим 1 + 1,10 + 1,102 + 1,Ю3 + ... + 1,Ю18 + 1,Ю19 - геометрическую профессию с первым членом 1 и знаменателем 1,10. Формула для суммы п первых членов геометрической профессии со знаменателем, большим единицы, выглядит так:

В общем виде:

(U0 -l) 1,10-1

(Ur)-l

(1.41)

(1-42)

где a - это первый член, а 1 + г - знаменатель профессии, который больше единицы, так как г всегда положительно.

Расчеты для нашего примера дают такой результат:

[l,1020 -l]

1,10-1

= 57,275.

Таким образом, уравнение для нахождения регулярного платежа по ипотеке X принимает вид:

100000 1,10м - 57,275*= 0,

что в результате дает Х= 11745,96. Формула для общего случая:

P(l + r) r ((1 + г) - I)

(143)

Конечно, большинство из нас выплачивает ипотеку ежемесячными погашениями, а не ежегодными. Для нахождения ежемесячных выплат по нашей ипотеке мы можем использовать тот же самый подход (только с 240 шагами) при условии, что годовую процентную ставку преобразуем в эквивалентную месячную

ставку. Если обозначить эквивалентную месячную ставку через С, тогда С находится из С12 = 1,10, т.е. С = ЦО * 1,007974. Наше уравнение для X примет вид:

г240 - 1

100 000 С240 т { X = о,

v 100 000 1,007974240 (1,007974 - 1) м, , л

X =--- = 936,64

1,007974240 -1

(заметим, что этот результат в годовом исчислении меньше примерно на £500 по сравнению с ежегодной выплатой из-за сэкономленных процентных платежей).

Обобщим формулу для ежемесячных выплат по ипотеке:

где Р - размер суммы, взятой в долг, г - годовая процентная ставка, an - количество лет.

Аннуитеты. В случае с ипотекой клиент получает денежные средства в начале ипотечного периода, а затем выплачивает свой долг посредством серии небольших платежей в течение всего этого периода. В случае с аннуитетом денежные потоки имеют обратное направление. Клиент вносит первоначальную сумму, а в обмен получает серию небольших платежей в течение срока аннуитета, т.е. аннуитет - это ипотека наоборот (или ипотека - это аннуитет наоборот).

Неудивительно, что расчет по аннуитетам очень похож на расчет по ипотекам. Рассмотрим, например, аннуитет, по которому ежегодно выплачивается £1200 в течение 20 лет, а доходность установлена в размере 10% годовых. Какую стоимость имеет данный аннуитет?

Текущая стоимость первого платежа, который состоится через год, равна 1200/1,10, т.е. эта сумма возрастет за один год до величины £1200 по ставке 10% годовых. Аналогично текущая стоимость второго платежа - 1200/1,102. Тогда сумма текущих стоимостей всех двадцати платежей равна: