Гпава 2

Начнем с суммирования всех 12 наблюдений дохода, получив -10,54. Следующим шагом будет деление этой суммы на 12. Результат деления равен -0,88. Отсюда средняя арифметическая непрерывно наращиваемых ежемесячных доходов по индексу FTSE в данном периоде составляла -0,88%.

Средняя арифметическая для*сгруппированных данных. Часто верхние и нижние пределы крайних интервалов остаются открытыми. Следовательно, необходимо сделать допущение о границах интервалов. Это допущение должно базироваться на характеристиках анализируемых данных. Например, данные из табл. 2.6 относятся к работникам компании финансовых услуг. Нижний интервал обозначен До 26 лет , а верхний - Более 55 лет . Если бы было известно, что компания, о которой идет речь, придерживается политики, которая не позволяет содержать в штате людей младше 17 и старше 62 лет, то границы открытых интервалов были бы определены знанием этой политики.

Таблица 2.6

Средняя арифметическая для сгруппированных данных находится с помощью следующей формулы

-, (2.5)

где X,- - центральное значение каждого интервала; f - частота каждого интервала; т - число интервалов;

я - общее количество наблюдений или единиц совокупности.

Используя приведенные выше данные, рассчитаем среднюю арифметическую возраста работников:

Средняя геометрическая

Альтернативным показателем средней арифметической, особенно хорошо подходящим для измерения средних темпов роста, является средняя геометрическая. Для иллюстрации этого сначала предположим, что фондовый индекс изменялся со--следующими годовыми темпами прироста в течение пяти лет: + 10%, + 20%, + 15%, -30%, + 20%. Средняя арифметическая темпов прироста равна + 35/5 = 7. Однако 100 единиц, инвестированных в первый год, возрастут до следующих значений в каждом году соответственно: 110; 132; 151,80; 106,26; 127,51. Следовательно, фактический прирост за весь пятилетний период составляет лишь 27,5%. Разделив это число на пять, мы получим 5,5% в год; но правильный ли это ответ?

Правду говоря, нет! Что нам действительно нужно, так это единичная мера темпа прироста, которая при повторении ее п раз трансформирует начальное значение в конечное. Корректный показатель периодических темпов прироста находится с использованием средней геометрической. Для измерения среднего годового темпа прироста за п лет используется следующая формула:

Xg= JXl-X2-Xy..X -1, (2.6)

где X, имеют вид (1 + г), а величина г, темп прироста, выражена в десятичных дробях, т.е., например, 10%= 0,1.

При использовании приведенных выше данных средняя геометрическая из темпов прироста в течение пяти лет составит 4,98%:

Xg = 3/(1,1) -(1,2). (1,15). (0,7). (1,2) -1 =

= 1,0498 - 1 = 0,0498 (4,98%).

Таким образом, средняя арифметическая дает преувеличенное значение среднего годового темпа прироста в данном примере. Применение же средней геометрической дает корректную среднюю темпа прироста.

Какую среднюю использовать?

Выбор подходящего вида средней зависит, с одной стороны, от природы данных, а с другой - от того, как этот показатель будут использовать.

Средняя арифметическая особо чувствительна к экстремальным (выделяющимся) значениям в одном из направлений, которые называются смещенными данными. Выделяющиеся большие значения увеличивают среднюю выше уровня действительного представляющего точку центра распределения данных. Особо малые значения признаков имеют противоположный эффект. Иногда для того чтобы исключить влияние экстремальных единиц данных, рассчитывается усеченная средняя. Для этого просто необходимо удалить 5% наибольших и 5% наименьших наблюдений до расчета средней арифметической.

Экстремальные наблюдения не влияют на медиану и моду, но эти показатели не столь полезны в дальнейшем математическом и статистическом анализе.

Средняя геометрическая лучше других подходит, когда под-считываются средние темпы прироста в течение нескольких временных периодов.

Показатели варпаипп (меры рассеяния)

Имея представление о точке центра распределения, мы часто хотим знать, как данные рассеяны вокруг нее. Нам предстоит изучить следующие показатели рассеяния (вариации):

квартальное отклонение;

дисперсию,

среднее квадратическое отклонение.

Квартальное отклонение

В то время как серединное наблюдение называется медианой, значения, находящиеся в точках, когда 25% всех значений меньше Qi и 75% меньше Q3 в ряду наблюдений, называются соответственно нижним и верхним квартилями (Qi и Q3). Промежуток между ними (Qi - Q3) известен как межквар-тильный, а его половина - как квартальное отклонение, которое часто используется как индикатор рассеяния данных вокруг медианы.

Расчет квартилей для несгруппированных данных. Положение (номер) Qi и Q3 определяется следующим образом: