л + 1 4

3(л + 1)

(2.7)

Ql и Q3 - это наблюдения, ближайшие к (п + 1)/4 или 3(л + 1)/4 соответственно.

Используем те же несгруппированные данные, относящиеся к ценам акции, выраженным в пенсах, что и для медианы

8, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 15. Позиция Qi = (л + 1)/4 = 3,75, т.е. 4. Позиция Q3 = 3(л + 1)/4 = 11,25, т.е. 11.

Таким образом, значением Qi является 10, а значением Q3 - 12.

Расчет квартилей для сгруппированных данных. Для оценки Qi и Q3 в случае сгруппированных данных мы применим методологический аналог того, что использовалось при определении медианы для сгруппированных данных. Исходная информация приведена в табл. 2.7.

Чтобы оценить Qi и Q3 для этих данных, применим следующие формулы:

Ql =L + i

( 3(л +1)

(2.8)

Q3 = L + /

где L

1 - F - f-

нижняя граница интервала, в котором находится соответствующий квартиль; размер квартального интервала; накопленная частота до квартального интервала; частота квартального интервала.

Номер Qi находится как (л + 1)/4 = 52/4 = 13. Отсюда находим, что он расположен в интервале между -3 и -2. Величина этого интервала (/) составляет 1. Накопленная частота до данного интервала (F) равна 12, а частота интервала, в котором находится Qi, равна 3.

Таким образом, Qi оценивается так:

Qi=-3 + i(-j) = -з + 1(о,:

= -3 +1(0,333) = -2,667%.

Номер Q3 составляет 3(л + 1)/4 = 39, I = + 3, F = 37, /= 3. Значение Q3 рассчитывается так: А

Межквартильный промежуток Q3 - Qi - 3,666 (- 2,667) = 6,333%. Квартальное отклонение равно (Q3 - Qt)/2 = 6,333/2 = 3,1665.

Проиентплп

Так же как мы поделили единицы совокупности на квартили, можно поделить их на процентили. Первый процентиль находится в точке, отделяющей 1% в совокупности данных. Qi и Q3 совпадают с 25-м и 75-м процентилями соответственно, а медиана является 50-м процентилем.

Таблица 2.7

Чтобы проиллюстрировать оценку процентилей по сгруппированным данным, рассчитаем 90-й процентиль для данных о доходе по FTSE 100, рассмотренных ранее.

Позиция 90-го процентиля равна 0,9 52 = 46,8. Значение 90-го процентиля находится так:

= 6 + 0,9 = 6,9%.

Дисперсия и среднее квапратическое отклонение

Если средняя арифметическая выбрана как показатель центра распределения, то соответствующими показателями вариации являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсия широко применяется в финансовых расчетах как мера риска и неопределенности и привлекательна, так как имеет свойство аддитивности. Это детально рассмотрено в гл. 4. Среднее квадратическое отклонение имеет сходное применение и используется как мера изменчивости в ценообразовании опционов, которое рассмотрено в гл. 8 и 10. Однако поскольку среднее квадратическое отклонение является квадратным корнем дисперсии, что мы увидим позднее, оно неаддитивно.

Дисперсия для несгруппированных данных. Если отдельные наблюдения сгруппированы вблизи среднего значения, то разности между каждым индивидуальным наблюдением Xj и средней X будут небольшими. Если отдельные наблюдения широко рассеяны, то разности между каждым индивидуальным значением Xt и X будут велики.

Можно подумать, что с помощью суммирования всех (X, - X) мы получим меру рассеяния. К сожалению, это не так, потому что Е(Х/ - X) всегда равна нулю. Для преодоления этого свойства средней необходимо возвести в квадрат каждое отклонение (X, - X ) и просуммировать получившиеся значения. Деление результата на л-1, т.е. на количество наблюдений минус один, дает дисперсию. Это можно показать в формализованном виде:

ct2 = Z= i -. (2.9)

Если вычисляется дисперсия на основе всей совокупности данных, то делитель в выражении (2.9) равен п. Однако когда

90-й процентиль = 6 +

46,8 - 45