данные, которыми мы располагаем, представляют выборку из всей совокупности данных, что обычно случается в эмпирических исследованиях в области финансов, следует делить на л-1. Происходит это потому, что мы должны делить на то, что статистики называют степенями свободы, для предотвращения искажения результата. Степени свободы - это число наблюдений минус число параметров, оценённых пег рассматриваемым данным. В случае дисперсии средняя оценивается по тем же данным. Таким образом, когда эта оценка используется при вычислении среднего квадратического отклонения, число степеней свободы равно п-\. Наибольший эффект при коррекции п на число степеней свободы наблюдается для малых выборок. Понятно, что для большого объема данных эффект коррекции минимален.

Чтобы проиллюстрировать расчет дисперсии для несгруппированных данных, используем табл. 2.8, в которой показаны доходы по индексу FTSE 100 для первых 12 месяцев из приведенных ранее в табл. 2.5. Сначала находятся и располагаются в третьем столбце отклонения от средней (X, - X). Затем каждое из них возводится в квадрат и записывается в четвертый столбец. Данные в этом столбце суммируются и получаем 361,9. Это число делится на 11, т.е. на л-1, и результат составляет 32,90. Данная величина отражает процентные доли в квадрате, что интуитивно не очень привлекательный результат.

Помня, что X = 39,8 лет, определяем дисперсию:

2 16051,73 о =-П1 г = 144,61.

Величина 144,61 выражена в квадратах лет, что довольно неудобно для рассмотрения.

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия выражается в квадратах единиц, находящихся в основании расчета, что делает ее интерпретацию довольно затруднительной. Эту проблему можно преодолеть, извлекая квадратный корень из дисперсии и получая таким образом среднее квадратическое отклонение, обозначаемое как ст.

Среднее квадратическое отклонение для несгруппированных данных. Среднее квадратическое отклонение вычисляется так:

b-tr- (21,)

Дисперсия для сгруппированных данных. При использовании сгруппированных данных формула дисперсии выглядит так:

-п- (210)

где представляет частоту для каждого интервала, X - центральное значение каждого интервала, а X -средняя всех X.

Для иллюстрации этого расчета используем сгруппированные данные из табл. 2.9, которые относятся (см. выше приведенный пример расчета средней по сгруппированным данным), к политике набора персонала в финансовой организации.

Таблица 2.9

Опираясь на расчет дисперсии для несгруппированных данных дохода по индексу FTSE 100 из табл. 2.8, получим квадратный корень из 32,9, который равен 5,74.

Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных. Формула для нахождения среднего квадратического отклонения для сгруппированных данных выглядит так:

Снова видим, что это только квадратный корень из дисперсии, но на этот раз для сгруппированных данных. Необходимо также помнить, что в этом примере Xt является центральным

значением интервала, а X - это средняя арифметическая всех наблюдений. Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных, относящихся к возрасту нанимаемых работников, составляет 12,02 лет.

Отрицательная полуаисперсия и отрицательное полуотклонение

Отрицательная полудисперсия подобна дисперсии, но учету подлежат лишь отрицательные отклонения от средней. Показатель отрицательной полудисперсии иногда предлагается в качестве приемлемой меры риска в финансовой теории, когда доходы распределены несимметрично. Ее величина рассчитывается следующим образом:

где Rj - периодические доходы от портфеля ценных бумаг; п - общее число отрицательных значений доходов; R - средний доход за период с учетом положительных и отрицательных доходов;

а2 - полудисперсия.

Однако заметим, что при условии Л,< R в расчет принимаются только отрицательные отклонения от средней. При использовании данных приведенного выше примера с дисперсией для несгруппированных данных отрицательная полудисперсия составляет 20,50.

(2.12)

(2.13)