Квадратный корень отрицательной полудисперсии представляет собой отрицательное полуотклонение, обозначаемое как а , для тех же данных оно равно 4,53.

Какой показатель варпаипп использовать?

Выбор показателя вариации диктуется используемым показателем центра распределения. При применении медианы как меры средней показателем вариации будет служить квартальное отклонение. Если же используется средняя арифметическая, то будут выбраны дисперсия, среднее квадратическое отклонение или отрицательная полудисперсия.

Относительные показатели вариации

Коэффициент вариации

Среднее квадратическое отклонение выражается в единицах измерения, лежащих в основе расчета. Таким образом, при сравнении степени вариации переменных должны быть учтены различия в величине этих переменных. Для этого нужно рассчитать коэффициент вариации. Он находится как отношение:

CK = 4L. (2.14)

Примером приложения коэффициента вариации является сравнение вариации изменений уровней индекса FTSE 100 в Великобритании и сводного индекса S&P в США. Первый из них на момент написания книги составлял около 3700, а второй - около 650. Сравнение вариаций изменений уровней с использованием среднего квадратического отклонения ввело бы в заблуждение, поэтому необходимо применить коэффициент вариации. Однако заметьте, что если бы мы измеряли вариацию доходов по каждому из этих двух индексов, то использование среднего квадратического отклонения было бы оправданным. Дело в том, что при подсчете доходности разница в величине основных данных была бы уже учтена.

Коэффициент асимметрии

Важно рассмотреть, есть ли смещения в рассеянии данных. Индикатор этих смещений - скошенность (асимметрия) данных. На рис. 2.5 показаны две типичные формы скошенности и симметричное распределение и отмечено относительное положение средней арифметической, медианы и моды.

a н о н о ее

Медиана

Средняя

Медиана

Средняя

-Мода

Мода, Медиана и Средняя /

Доходы

Положительная асимметрия

Доходы

Отрицательная асимметрия

Доходы

Симметрично (нет сдвига)

Рис. 2.5. Три примера степени асимметрии распределений

В случае положительной асимметрии распределение имеет длинную правую ветвь. Средняя величина дохода больше медианы, которая в свою очередь больше моды. Значение средней больше медианы и моды, потому что на нее повлияли несколько очень больших значений доходов.

Отрицательная асимметрия проявляется в виде более длинной левой ветви, а величина средней меньше медианы и моды. Большинство наблюдений распределения имеют значения больше средней, но величина средней снижается из-за нескольких очень малых наблюдений.

При симметричном распределении средняя, медиана и мода имеют одно и то же значение.

Наращение доходов по сложной ставке дает увеличение положительной асимметрии. Чтобы понять это, рассмотрим конечную стоимость актива, который приносил положительные

доходы в размере 8% годовых в течение двух лет. Если первоначальные инвестиции были равны 100 единицам, то стоимость на конец срока составит

100(1,08)2 = 116,64 ед.

Если же наблюдались убытки в размере 8% ежегодно, то через два года стоимость 100 единиц равнялась бы 85,73 единицам:

(1,08)2

85,73 ед.

Таким образом, наращение по сложной ставке дает доход 16,64 единиц через два года, в то время как снижение доходности принесет убытки в размере 14,27 единиц за тот же период.

Существует несколько методов для расчета степени асимметрии данных. Коэффициент асимметрии Спирмэна находится следующим образом:

3(Средняя арифметическая - Медиана)

Коэффициент асимметрии =-. (2.15)

Среднее квадратическое отклонение

Также возможно определение коэффициента асимметрии с помощью квартилей и процентилей.

Квартильный коэффициент асимметрии равен:

(63-62)- (62-61) 63-262+61, 1Л

(6з-6,) 6з-6, {ЛЬ)

10-90-процентильный коэффициент асимметрии рассчитывается как

(90 ~ 50) ~ (50 - Р\о) р90 - 2р50 + 10 q 17)

90-10 90 Ло

Однако показателем асимметрии, который наиболее пригоден для применения в случае сгруппированных данных, является коэффициент асимметрии, основанный на расчете моментов распределения. Он определяется с помощью центрального момента третьего порядка и деления его на куб среднего квадратического отклонения, что можно представить следующей формулой:

1(*-1)3

я~1 . , . (2.18)

I(*-J)2 и-1