вого года 60 единиц, т.е. (1000 0,06), будет добавлено к первоначальному взносу, который возрастет до 1060 единиц. Это можно определить и так: 1000 1,06 = 1060. В течение второго года проценты будут начисляться уже на 1060 единиц. В конце второго года 63,6 (1060 0,06) будет добавлено к 1060, таким образом в третьем году базой для начисления процентов будет сумма 1123,6, т.е. (1000 1,06 1,06), и т. д.

Стоимость денег, помещенных на депозит, через 3 года (будущая стоимость первоначальной суммы) рассчитывается так: 1000 1,06 1,06 1,06 = 1191,02. Это пример роста в геометрической прогрессии и записывается следующим образом:

Общая формула для расчета будущей стоимости денег при ежегодном начислении процентов выглядит так:

где обозначения аналогичны (1.1).

Во многих финансовых операциях начисление происходит чаще, чем один раз в год. Например, процентные платежи могут добавляться к общей сумме депозита или кредита ежеквартально или ежемесячно. Будущая стоимость денег в этом случае будет выше, так как на проценты, начисляемые через более короткие промежутки времени, процентные платежи начисляются раньше.

Для получения формулы наращения, когда проценты начисляются чаще, чем раз в год, необходимо изменить выражение (1.2). Годовая процентная ставка делится на количество периодов начисления в году, а степень п умножается на количество периодов начисления в году:

где т - количество периодов начисления в году.

Следующий пример, в котором рассмотрено ежеквартальное начисление процентов в течение трех лет, проиллюстрирует использование этой формулы:

1000(1,Об)3 = 1191,016.

FV= Д1 + / ) ,

(1.2)

(1.3)

Следует заметить, что переход от ежегодного к ежеквартальному начислению процентов влечет за собой увеличение будущей стоимости, или приносит дополнительную прибыль. В нашем случае разница составляет 4,602 за 3 года.

Можно прийти к ложному заключению, что с увеличением т (начисляя проценты чаще) происходит бесконечное увеличение значения будущей стоимости

Однако это не так, причиной чего является множитель наращения

который ограничен в росте по мере увеличения т. Табл. 1.2 демонстрирует это для случая, когда г = 1 и n = 1. Следует отметить, что так как n = 1, то mn = т и поэтому п можно в этом примере проигнорировать.

Таблица 1.2

~т 2 3 4 5 10 20 100 1000 10000

(1 + (1/от))т 2,25 2,370 2,441 2,488 2,593 2,653 2,705 2,717 2,718

Таким образом, при т = 2 мы имеем (1 + 0,5)2 = 2,25. Увеличивая частоту начислений в году до 10, мы получаем множитель наращения 2,593, увеличивая т до 100, получаем множитель 2,704, а при увеличении т до 1000 - 2,716, и т. д. Важным является предел этого увеличения, выражающийся математической константой, что мы далее увидим. Эта константа - иррациональное число, т.е. имеет бесконечное число знаков после запятой, поэтому она не может быть выражена десятичной дробью. Математики назвали ее экспонентой и обозначили е. Конечно, можно записать приближенное значение е, такое, как 2,71828182845904523536287, но даже это число не является абсолютно точным.

Мы можем обобщить эффект увеличения частоты начислений (т), заметив, что

(1.4)

стремится к ег по мере увеличения т.

В пределе можно предположить, что начисления становятся настолько частыми, что проценты начисляются непрерывно, тем самым увеличивая основную сумму в экспоненциальной зависимости. Это известно как непрерывное наращение. Будущая стоимость денег при непрерывном наращении определяется как

где е - экспоненциальная константа (2,71828...),

п - количество лет или соответствующие доли лет.

Непрерывное наращение - это допущение, существующее только в теории и применяющееся в финансовых моделях, таких, как определение стоимости опционов. Как будет показано далее, приведение процентных ставок с различной частотой начисления к эквивалентным ставкам с непрерывным наращением позволяет сопоставить их между собой.

Приведение дохода с дискретным наращением к эквивалентному доходу с непрерывным наращением. Для преобразования доходов с дискретным наращением к доходам с непрерывным наращением необходимо, чтобы сумма денег, инвестированная под непрерывную процентную ставку, имела такую же будущую стоимость, что и подобная сумма, инвестированная под эквивалентную дискретную процентную с1аьку. Таким образом:

где гсс - непрерывная процентная ставка,

rfc - эквивалентная дискретная процентная ставка,

п - общий срок (в годах),

т - количество периодов начисления в году.

Деля обе части уравнения на Р и извлекая корень степени л, получим:

Ptr ,

(1-5)

(1-6)

(1.7)

преобразовав это уравнение, имеем: