Центральный момент четвертого порядка равен 2717,16, среднее квадратическое отклонение в четвертой степени составляет 1082,43. Таким образом, расчет коэффициента эксцесса дает значение 2,51.

Если бы данные были нормально распределены (т.е. средне-вершинны), то коэффициент эксцесса, рассчитанный с помощью моментов, равнялся бы 3,0. Следовательно, пик у рассматриваемых данных дохода по индексу акций выражен меньше, чем у нормального распределения, и их распределение является плосковершинным. Если бы данные были островершинными, т.е. с более выраженным пиком в сравнении с нормальным распределением, коэффициент эксцесса на основе моментов был бы более трех.

ПОКАЗАТЕЛИ СВЯЗИ

Выше объяснялось, что дисперсия случайной переменной показывает, как наблюдаемые значения этой переменной распределены вокруг среднего значения. Здесь мы представим концепцию ковариации, которая показывает, как две случайные переменные ведут себя по отношению одна к другой. Затем мы перейдем к расчету коэффициента корреляции, который является наиболее удобным показателем степени линейной связи между двумя переменными.

Коварпаипя

В финансовой и других областях встречается много ситуаций, когда важно знать, как две переменные ведут себя по отношению друг к другу. Например, в управлении портфелем для определения риска портфеля активов необходимо знать, как цена ценной бумаги X ведет себя по отношению к ценной бумаге Y для всех пар активов. Другими словами, нам нужно определить ковариацию или корреляцию каждой пары активов.

Если цена ценной бумаги X обычно растет (падает) в то же время, когда растет (падает) цена ценной бумаги Y, ковариация будет положительной. Однако если обычно во время роста цены ценной бумаги X цена ценной бумаги Y падает, то ковариация будет отрицательной. Если же не существует определенной модели связи между движениями цен, т.е. цены двух ценных бумаг ведут себя независимо, ковариация равна нулю.

Таблица 2.12

1 S&P 500 - индексы Standard and Poors для 500 корпораций, в том числе 400 промышленных, 20 транспортных, 40 коммунальных и 40 финансовых. FTSE 100 - фондовый индекс газеты Financial Times для 100 компаний.

Формула для вычисления ковариации выглядит следующим образом:

Y(X-X)(Y-Y) covxr = oxy = ±*---. (2.21)

Как видим, величина ковариации согласно расчету зависит от величин наблюдений X и Y. Таким образом, значительная ко-вариация может быть вызвана в большей степени высокими значениями наблюдений, чем близкой связью между переменными.

Первым шагом в исследовании связи двух переменных является построение точечной диаграммы, отображающей каждую пару наблюдений.

В табл. 2.12 приведены данные, относящиеся к доходам от двух активов, представленных индексами S&P 500 и FTSE 100.1 Для простоты изложения удобно обозначить их X и У соответственно. В табл. 2.14 показаны результаты расчета ковариации для этих двух активов.

Представление данных и статистические показатели

Выражение (2.21) применено к данным следующим образом. Отклонения каждого из значений X или Y от соответствующих средних располагаются в столбцах X - X и Y - Y . Соответствующие значения из этих столбцов перемножаются и помещаются в крайнем правом столбце. Значения в нем суммируются, в результате чего получаем 236,491. Это число делится на л-1 и получается ковариация, равная 21,499. Из рассматриваемого примера мы видим, что активы X и Y имеют положительную ко-вариацию доходов по ним.

Было бы полезно определить, как образуется знак ковариации. Обратите внимание на то, как плоскость рис. 2.7 разделена на четыре части координатной сеткой с осями, проходящими через X и Y .

Рис. 2.7

Заметим, что для точек в верхней левой четверти значения Y больше значений Y, таким образом, разность Y - Y положительна. Однако все значения X будут ниже X. Отсюда отклонения X - X отрицательны. Так как отрицательное число при умножении на положительное дает отрицательную величину, то вклад наблюдений из верхней левой четверти будет отрицательным. Аналогично вклад наблюдений из верхней правой и нижней левой частей положителен. Вклад наблюдений из нижней правой части - отрицательный.

Таким образом, данные, которые преобладают в нижней левой и верхней правой четвертях, будут иметь положительную