левой и нижней правой четвертях, имеют отрицательную кова-риацию. Если точки данных равномерно рассеяны по всем четвертям, то ковариация равняется нулю.

Опсперспонно-коварпацпонная матрпиа

Часто ковариации нескольких переменных изображаются в виде дисперсионно-ковариационной матрицы. В табл. 2.13 показаны ковариации всех возможных пар из группы трех активов.

Таблица 2.13

Возможными парами активов в этом примере являются XX, XY, XZ, YX, YY, YZ, ZX, ZY и ZZ В приведенной выше таблице ковариации записаны строчными буквами. Таким образом, ковариация X и Y - это ху. Заметьте, что это то же самое, что и ух. Поэтому все ковариации левее и ниже диагонали повторяются выше и правее диагонали. Значит, эти ковариации введены в матрицу дважды. Важность этой детали проиллюстрируем позднее, когда будем измерять риск портфеля.

Обратите внимание на то, что ковариации на диагонали показаны жирным шрифтом. Это ковариации доходов с ними самими. Ковариация переменной с ней самой равняется дисперсии этой переменной. Для понимания этого используем выражение (2.21) для измерения ковариации актива X с ним самим. Равенство будет выглядеть так:

Х-Х).(Х-Х)

cov = ----. (2.22)

Числитель в выражении (2.22) упрощается до (X - X )2, отсюда оно приобретает следующий вид:

что совпадает с формулой дисперсии. Таким образом, матрицу ковариации часто называют дисперсионно-ковариационной матрицей.

Коэффициент корреляции

Наиболее широко используемым показателем степени связи между двумя переменными является коэффициент корреляции. Это показатель, независимый от единиц измерения, характеризует силу и направление линейной связи между двумя переменными. Следовательно, при его использовании преодолевается недостаток ковариации, так как величина коэффициента корреляции не находится под влиянием значений наблюдений.

Значения коэффициента корреляции находятся в промежутке от -1 (для случая отрицательной связи), проходя через 0, где две переменные независимы друг от друга и заканчиваются в точке + 1 (для случая положительной связи между переменными).

Коэффициент корреляции р рассчитывается делением ковариации 1и Уна произведение среднего квадратического отклонения X и среднего квадратического отклонения Y. В формализованном виде записывается так:

Рху = (2-24)

охоу

Применив выражение (2.24) к данным из табл. 2.12, получим, что коэффициент корреляции Хк К равен

21,499 n7Q. = 4Д374 = 0,793

Независимо от того, положительна или отрицательна корреляция, коэффициент корреляции - это только мера статистической связи. В статистике не существует выводов о причинности, т.е. невозможно предположить, что изменение переменной Xприведет к изменению переменной Кили наоборот.

Следовательно, коэффициент корреляции может показать, насколько сильна линейная связь между двумя переменными, но не может объяснить их изменений. Для такого объяснения необходимо сначала разработать теорию причинной связи из предварительных рассуждений, построить модель, которая отражает гипотетическую связь, и затем протестировать модель стати-

стически. Для этого используется регрессионный анализ. Эта тема рассматривается в гл. 6.

Корреляционная матрица

Так же как ковариация, коэффициенты корреляции представляются в виде матриц. Рассмотрим для примера табл. 2.14.

Таблица 2.14

Заметьте, что табл. 2.14 (а) и (б) отличаются от табл. 2.13 (а) и (б) тем, что их диагонали, проходящие из верхнего левого угла до нижнего правого, должны по определению быть равны единице. Чтобы доказать это, вспомним, что числитель в выражении (2.24) представляет собой ковариацию переменной, но согласно выражению (2.23) в этих условиях становится дисперсией. Также обратите внимание на то, что знаменатель - это произведение средних квадратических отклонений двух переменных. В случае корреляции переменной с самой собой знаменатель был бы квадратом среднего квадратического отклонения, т.е. дисперсией. Следовательно, числитель и знаменатель являлись бы одной и той же дисперсией, а результат должен равняться единице.

Приложения ковариаиии и корреляции

Ковариация и корреляция имеют много приложений в финансовой теории и практике. Рассмотрим здесь, какую роль они играют в измерении риска портфеля активов, обладающих риском. В гл. 6 мы будем исследовать роль корреляции, используемой вместе с регрессионным анализом для хеджирования (страхования) рисков.

Риск портфеля. Рискованность одного актива измеряется дисперсией или средним квадратическим отклонением доходов