Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

по этому активу, а риск портфеля - дисперсией или средним квадратическим отклонением доходов портфеля.

Однако чтобы измерить риск портфеля, намнужно не только знать вариацию доходов отдельных ценных бумаг, но и степень, с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Нам необходимо знать ковариацию или же корреляцию доходов каждой пары активов в портфеле.

Риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариации всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рассматривается как ковариация актива с самим собой.

Для демонстрации этого рассмотрим портфель из трех активов А, В и С. Доходы по каждому из них обозначим соответственно a, b и с. Веса, с которыми каждый актив представлен в портфеле, равны WA, Wr и Wq.

Ковариации доходов по всем возможным парам активов можно отобразить в ковариационной матрице:

COV(fl,fl)

cov(a,b)

cov(a,c)

cov(6,a)

cov(b,b)

cov(6,c)

cov(c,a)

cov(c,b)

cov(c,c)

Риск портфеля o-p можно найти так:

°\ = WAWA cov Vaa + WAWB cov Vab +...+WCWB cov Vcb + WCWC cov Vcc.

(2.25)

Рассмотрев состав ковариационной матрицы, можно заметить, что каждая взвешенная ковариация на самом деле включена в расчет дважды, например, WAWc cov {а, с) - это то же самое, что и WqWa cov (с, а). Вспоминая также, что cov (а, а) в действительности является дисперсией а, упростим выражение (2.25) и получим:

a] = W\ctI + Wj*l ±WZ*l +2-WAWBcovab +

+2-WAWcco\ac+2-WBWcco\bc. (2-26>

Выражение (2.26) можно представить в общем виде:

°\ = Z *Ы * 2£ £ WtWj cow у. (2.27)



Ясно, что преимущества диверсификации происходят от включения в портфель активов, которые имеют низкие или даже отрицательные ковариации с другими активами портфеля, что снижает сумму ковариации и, следовательно, общий риск портфеля.

Так как ковариация -показатель связи, неограниченный по величине, то часто в качестве показателя связи используют коэффициент корреляции. Преимущество ранжирования пар активов по их коэффициентам корреляции заключается в предоставлении четкой системы включения активов, которые увеличивают преимущества диверсификации, и исключения тех, которые этого не делают.

Вспомним, что коэффициент корреляции рассчитывается как

Раь =- (2.28)

Следовательно, ковариацию можно выразить как

аЬ=раЬ-аааь. (2.29)

Отсюда дисперсию портфеля двух активов, используя коэффициенты корреляции и дисперсии активов, можно найти следующим способом:

а2р = WW, + Wh\ + 2WAWB (pab-oaob), (2.30)

где ар - дисперсия портфеля;

а2 и а\ - дисперсии доходов соответственно по активам а и Ъ\

РаЬ - корреляция доходов но а и Ь,

аа и аь - средние квадратические отклонения соответственно

по активам а и Ъ\ (PatPcPb) - ковариация доходов по активам а и Ъ.

Среднее квадратическое отклонение портфеля - это квадратный корень из дисперсии портфеля.

Схожесть с выражением (2.26) понятна, если учесть, что (РаЬ°(Рь) - это ковариация доходов по активам an Ь.

Понижающие риск эффекты апверспФикаиии

Чтобы продемонстрировать понижающие риск эффекты диверсификации, допустим, что ценная бумага А имеет среднее квад-



Представление данных и статистические показатели 105

ратичёское отклонение 15%, а ценная бумага В имеет среднее квадратическое отклонение 14%. Допустим также, что веса активов в портфеле одинаковы.

Рассмотрим сначала особый случай, когда доходы по активам полностью коррелированны, т.е. коэффициент корреляции равен + 1,0.

Среднее квадратическое отклонение портфеля будет следующим: °Р = V(0,5)2(0,14)2 + .(0,5)2(0,15)2 +2(04-0.5-1 -0,14-0,15) = = 0,145 (14,5%).

Это показывает, что в данном конкретном случае риск портфеля - это просто средний взвешенный риск отдельных активов.

Рассмотрим, что случится, когда ценные бумаги будут иметь корреляцию, равную только 0,6. В этом случае среднее квадратическое отклонение портфеля становится равным 12,97%:

ор = V(0,5)2(0,14)2 + (0,5)2(0,15)2 + 2(0,5 0,5 0,6 0,14 0,15) = = 0,1297 (12,97%).

Заметьте, что число 12,97% в действительности меньше, чем средние квадратические отклонения отдельных ценных бумаг.

Следующий шаг - исследование другого особого случая, когда два актива полностью отрицательно коррелированны. Среднее квадратическое отклонение портфеля будет равно:

ар = V(0,5)2(0,14)2 + (0,5)2(0,15)2 + 2(0,5 0,5 (-1) 0,14 0,15) = = 0,005 (0,5%).

Риск портфеля практически сведен к нулю, потому что в случае когда один актив растет, другой снижается на подобную величину, и, следовательно, стоимость портфеля не колеблется. Это служит базой для операций хеджирования, в которых отрицательная корреляция достигается продажей позиции по инструменту, который имеет высокую степень положительной корреляции с тем активом, который нуждается в хеджировании. Таким образом, короткая позиция по хеджирующему инструменту создает отрицательную корреляцию между длинной и короткой позициями.

Так как охо ы по енным бумагам в об ем не полностью



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175