будет меньше, чем средняя взвешенная средних квадратических отклонений отдельных ценных бумаг. Более того, среднее квадратическое отклонение портфеля падает, когда снижается степень корреляции пар активов.

Следовательно, эффективная диверсификация - это не просто добавление активов к портфелю, но добавление таких активов, доходы которых имеют самые низкие корреляции с активами, присутствующими в портфеле.

Ранее мы видели эффект степени корреляции на диверсификацию. Полезно сейчас рассмотреть, что происходит в портфеле, состоящем из многих активов.

Рассмотрим снова выражение (2.27), которое повторено здесь как (2.31)

Представим, что имеется очень большое количество активов, доступных для инвестиций, скажем индекс из 100 или 500 акций. Допустим также, что все доходы по активам независимы. Выражение (2.31) сократится до следующего:

Так как предполагается, что доходы по активам независимы, ковариации равняются нулю. Теперь предположим, что равные суммы инвестированы в каждый из .V активов, тогда веса каждого станут равными 1/N, и дисперсия портфеля примет вид:

Выражение в прямоугольных скобках является средней дисперсией активов в портфеле. В то время как число активов (N) в портфеле становится больше, 1/N уменьшается, и дисперсия портфеля снижается, приближаясь в пределе к нулю.

Однако в действительности не все доходы по активам независимы, особенно когда мы рассматриваем активы, принадлежащие к одному классу, например, акции и облигации. У большинства активов будет присутствовать некоторый уровень ковариации. Отсюда на практике равенство (2.32) превращается в следующее:

(2.31)

(2.32)

(2.33)

1=1 1=1 j>i

Это можно представить так:

/=1 j>l

N(N-l)

(2.35)

Первый член равенства представляет собой среднюю дисперсию, уже встречавшуюся выше в выражении (2.33), а второй - это тоже средняя, т.е. сумма ковариации, деленная на число ковариации N(N-1). Выражение (2.35), таким образом, может быть упрощено до

2 1-2 N -1 ,N

°р=-н°> +-cov (236)

Эта формула помогает объяснить, что происходит с риском портфеля, когда в него включено большое количество активов. Когда число активов в портфеле увеличивается, 1/N уменьшается, и, таким образом, его произведение на среднюю дисперсию приближается к нулю. Однако {N-\)/N стремится к единице при увеличении N, отсюда второе слагаемое правой части выражения (2.36) приближается к средней ковариации. Следовательно, когда портфель диверсифицирован включением большого числа активов, дисперсия портфеля приближается к средней ковариации отдельных активов.

Значит, общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Таким образом, общий риск состоит из двух частей: а) тот риск, который может быть исключен диверсификацией (несистематический риск, также известный как случайный или остаточный риск) и б) тот элемент риска, который не может быть исключен с помощью диверсификации (систематический риск, также известный как рыночный риск).

Индексы

Индекс - это единичный описательный статистический показатель, который обобщает относительное изменение одной переменной или группы переменных. Например, публикуемые ин-

дексы обобщают в одной величине изменение цен большого количества розничных товаров (индекс розничных цен), цен производителей (индекс цен производителей), цен акций (индекс FTSE 100), изменение стоимости валюты по отношению к набору других валют (взвешенный индекс торговли).

Индексы полезны, когда; Значения, лежащие в основе расчета, очень велики и абсолютные изменения трудно понять, например, при анализе валового национального продукта страны. С другой стороны, индексы применяются для обобщения совокупного изменения в группе составляющих, каждая из которых меняется в разной степени. Например, индекс розничных цен обобщает изменение цен набора (корзины) товаров и услуг, приобретаемых типичным домашним хозяйством. Индекс FTSE 100 обобщает изменение цен 100 акций, зарегистрированных на Лондонской фондовой бирже.

Индексы как относительные инпикаторы

Индекс цен может быть истолкован как отношение цен. Обозначим цену единицы товара сегодня Р\, которая сравнивается со вчерашней ценой Р$. Относительная цена товара, или отношение цен, находится как P\/Pq.

Если цена выросла, то отношение цен будет больше единицы, а если цена упала, то меньше единицы. Например, если цена в день, который обозначим 0 , составляла 12 единиц, а в день, обозначенный как 1, изменилась до 14, то отношение цен равняется 14/12 = 1,1667. Если бы цена снизилась до 11, отношение цен равнялось бы 11/12 = 0,9167.

Ясно, как и в приведенном выше случае, что может быть найдено дальнейшее отклонение цен для характеристики изменения цены между днями 2 и 1, т.е. Рг/Р\. Однако особенностью индексов является их ссылка на базовый период. Так, в нашем примере базовым индексом будет отношение PPq- Таким образом, индекс может быть использован для выражения изменения рассматриваемой переменной(ых) между базовым и текущим периодами.

До сих пор мы рассматривали только отношения цен, но также обоснованно может быть поставлен вопрос о расчете отношения физических объемов или отношения стоимостей, если рассматриваемые данные являются физическими объемами и стоимостями, а не ценами.