Вторая значительная особенность индексов заключается в том, что базовая цена (физический объем или стоимость) приводится к базису 100 или, иногда, 1 ООО. Для этого надо лишь умножить отношения цен на 100 (или 1 000). Следовательно, если Ро = 12, при приведении к базису 100 мы делим на 12 и умножаем на 100. Если Р\ равно 14, то индекс с базисом 100 составит

14/12 100= 116,67.

Это можно обобщить следующим образом:

(2.37)

где Z- базовое значение индекса, обычно 100 или 1 000; Pq - величина переменной в базовом периоде; Pt - текущая величина переменной.

Преимущество базового значения индекса, равного 100, в очень доступном отображении процентного изменения индекса со стартовой даты или базового периода. Однако это процентное изменение не отражает изменений между отдельными датами. Например, если цена третьего дня />3 была равна 15 единицам, индекс цен, отражающий изменение />з по сравнению с Ро, составит

15/12 100 = 125%.

Это показывает 25%-ный прирост со дня старта. Но изменение по сравнению со вторым днем (р3/Р2) будет только 7,14%:

(125 - 116,67)/116,67 = 7,14%.

В приведенных выше примерах мы наблюдали отношение цен только по одной позиции. В то же время на практике индексы составляются для обобщения изменения по совокупности рассматриваемых переменных. Это ставит перед нами две важные проблемы:

1. Каким способом усреднять множество изменений, чтобы прийти к одному индексу?

2. Как относиться к каждой переменной в составе группы? Нужно ли к ним относиться как к одинаково важным? Если нет, то как определить важность каждой из них?

Выбор способа усреднения

Для обобщения изменений большого числа переменных необходимо относительные величины обобщить и привести к средней. Существует два типа нахождения средней, которые применимы к индексам: нахождение средцей арифметической и средней геометрической.

Чтобы проиллюстрировать расчет средней арифметической, рассмотрим индекс по совокупности, состоящей из четырех активов, - А, В, С и D. Отношения цен выглядят так:

Рлх Рв, Pd РР,

РА Л 0 Ре Pd0

Предположим, что все составляющие одинаково важны, т.е. имеют равные веса, тогда индекс составит

( Ра

PBa РСа PD

(2.38)

Это можно представить в общем виде:

,=1 ел

(2.39)

Если бы те же отношения цен были включены в индекс, усредненный с помощью геометрической средней, он был бы построен следующим образом:

увх Гц Щ

В общем виде это выглядит так:

rDoJ

(2.40)

(2.41)

Средние геометрические индексы имеют присущее им смещение, связанное с тем, что за исключением случаев/когда все

составляющие изменяются в одинаковой пропорции, индекс будет недооценивать абсолютную величину роста и переоценивать абсолютную величину падения. Эта переоценка имеет отношение к портфелю акций, составляющих индекс. Более того, если одна из составляющих упадет до нуля, то общий индекс может иметь только нулевое значение.

Смещение в средних геометрических индексах проиллюстрировано в табл. 2.15, где сравниваются изменения средних арифметических и средних геометрических индексов.

Таблица 2.15. Иллюстрация смещения средних геометрических индексов

Средняя Средняя

Другой проблемой геометрически усредненных индексов является то, что их поведение не повторяет поведения рассматриваемых составляющих совокупности. Например, если изменения цены акций компании отражены индексом, то доходы, предполагаемые по индексу, не будут совпадать с фактически достигнутыми по портфелю этих акций, построенному с такими же весами, как в индексе. Однако в случае среднего арифметического индекса доходы соответствовали бы подобному рассматриваемому портфелю.

Выбор способа взвешпванпл

Чтобы индекс отображал общее движение рассматриваемых составляющих, каждое из отношений цен должно быть взвешено для отражения их относительной важности. Существуют четыре известных способа взвешивания составляющих: