ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ В ФИНАНСАХ

Введение

Дифференциальное нечисление

Первая производная - скорость изменения

Разложение рядов Тейлора Применение дифференциального исчисления

Применение рядов Тейлора при оценке изменений цены облигации

Применение исчисления для измерения риска цены облигаций

Вторая производная - скорость изменения скорости изменения

Максимумы и минимумы

Нахождение минимальных и мак-симальных значений функции

Дифференцирование функций нескольких неременных

Взятие частных производных

Полный дифференциал

Максимумы и минимумы функций нескольких переменных

Максимумы и минимумы функции на определенном интервале: оператор Лагранжа

Интегральное исчисление (интегрирование)

Неопределенный интеграл

Нахождение площади под кривой

Упражнения

Список рекомендуемой

литературы

ВВЕИЕНПЕ

Исчисления - это раздел математики, который изучает изменения. Он разделен на два основных подраздела: дифференциальное исчисление и интегральное. С помощью дифференциального исчисления рассчитывается как или с какой скоростью изменяется переменная, в частности, на сколько одна переменная изменится в зависимости от бесконечно малого изменения другой переменной. Интегральное исчисление служит для расчетов площадей и объемов, ограниченных графиками функций.

В этой главе мы введем основные принципы исчислений и применим их к решению некоторых конкретных финансовых проблем. Дифференциальное исчисление будет использовано для определения изменения курса облигации в ответ на изменение ее доходности. Интегральное исчисление применяется для нахождения площади под кривой. ЭтЪ в свою очередь будет использоваться в следующих главах при нахождении вероятности того, что определенная финансовая переменная примет значение в определенных пределах.

аПФФЕРЕИиПАЛЫЮЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Дифференциальное исчисление дает возможность определить, насколько одна переменная изменяется в ответ на изменения других, и является ли скорость изменения переменной возрастающей, убывающей либо постоянной. Например, мы можем рассчитать скорость автомобиля, зная время и пройденное расстояние. В области финансов также можно найти чувствительность облигаций к процентным ставкам.

Скорость изменения одной переменной Y в ответ на изменение другой переменной X известна под названием производной

Y по X. Вторая производная показывает, является ли скорость изменения Y возрастающей, убывающей или постоянной. Рассмотрим эти понятия подробнее.

Первая производная - скорость изменения

В этом разделе мы рассмотрим скорость изменения переменной

Y в зависимости от изменения переменной X. Затем в этой же главе рассмотрим, как изменяется Y, когда только одна из нескольких переменных изменяется, а также когда все эти переменные изменяются одновременно.

Рассмотрим следующие линейные функции: Y= 12 + ЗХи Y- ЗХ. Первая функция показывает, что когда Х= О, то Y- 12, во всех остальных случаях Убудет равен 12 плюс утроенное значение X. Вторая функция показывает, что значение Y равно утроенному

значению X. Ниже мы приведем значения Y для возможных значений Лдля обеих функций:

У-12 + 3* * О 1 2 3 4 5 6 7 8 9

У 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

У=ЪХ 0123456789 10

КО 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Графики обеих функций представляют собой прямые линии и изображены на рис. 3.1.

2 4 6 8 9

Рис. 3.1

Скорость изменения Y в зависимости от изменения X задана наклоном прямой. Наклон прямой определяется отношением AY (изменением Y) к ДА(изменение X): AY/АХ. Если мы рассмотрим прямоугольные треугольники, гипотенузы которых являются участками графиков функций, то увидим, что отношение вертикали к горизонтали всегда равно 3 вне зависимости от участка прямой и функции.

Мы могли бы получить тот же результат, всего лишь взглянув на эти две функции. Мы знаем, что изменение У будет равно трехкратному изменению X, таким образом, AY/АХ равно 3. Очевидно, что поскольку функция линейна, то наклон графика, или скорость изменения Y в зависимости от изменения X, всегда равен 3, таким образом, AY/АХ постоянно. Кроме того, свободный член первой функции (12) не имеет никакого влияния на наклон прямой, а влияет только на ее расположение. Таким образом, свободный член не влияет на скорость изменения Y.