Теперь обратимся к случаю, когда функция не является линейной. Например, рассмотрим функцию Y - 4 + 2Х2. Значения Упри различных значениях Xприведены ниже:

X 0 12 3 4 Y4 6 12 22 36

График функции изображен на рис. 3.2.

Важное свойство этой кривой состоит в том, что она становится круче с увеличением значения X. Другими словами, У возрастает с растущей скоростью по мере того, как X увеличивается, даже если X возрастает с постоянной скоростью. Таким образом, угол наклона графика функции, или скорость изменения, не постоянна.

36 32 28 24 20 16 12

12 3 4

Рис. 3.2

Очевидно, что невозможно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой, являющейся частью кривой. Тем не менее, представим себе прямоугольный треугольник, построенный между двумя точками на графике функции, как показано на рис. 3.2. Отношение AY/АХ теперь не дает действительной или моментальной скорости изменения У в любой из точек на участке кривой. Вместо этого мы получаем среднюю скорость изменения. Эта средняя тем менее будет репрезентировать степень изменения в определенный момент, чем больше расстояние между двумя точками на кривой. И наоборот, чем меньше это расстояние, тем более точно будет измерена скорость изменения У. Когда расстояние между двумя точками становится меньше и меньше, оно

становится бесконечно малым, или близким к нулю. В таком случае математики говорят, что оно приближается к предельному значению, к пределу. Пределом является изменение значения

Y в ответ на бесконечно малое изменение X. Чтобы показать это предельное изменение, математики заменили обозначение AY/АХ, когда Xприближается к пределу, на dY/dX.

Теперь нам ясно, что для того чтобы найти моментальное изменение скорости, мы должны рассчитать dY/dX. Но как это сделать? Чтобы понять это, рассмотрим функцию Y = X2. Теперь предположим, что X изменяется на незначительную величину ЪХ. Для сохранения равенства К также возрастает на 5 К Таким образом, для функции Y= X2,

У+ЪУ=(Х+ЬХ)2. (3.1)

Раскрыв правую часть, получим

(Х + 5Л)2 = (Х+ 5Х) (Х+ЬХ) =

= XX + Х-ЪХ + Х-ЪХ + 5Х-5Х = X2 + 2(Х-8Х) + 5 X2 . Таким образом,

Y+ 8У= X1 + 1(Х-ЪХ) + (ЪХ) 2. (3.2)

Нам нужно найти значение dX Так как Y= X2, можно убрать

Y из левой части уравнения и Л2 из правой, сохраняя при этом равенство. Получаем:

ЬУ=2(Х-8Х) + (ЬХ)2. (3.3)

Поскольку предел dX бесконечно мал, почти равен 0, то умножение dX2 на dX дает еще меньшую величину, еще более близкую к нулю. Таким образом:

8У=1(Х-8Х). (3.4)

Теперь разделим обе части уравнения на бЛи получим предел

~-=2Х. (3.5)

Так, для функции Y= X2, dy/dA= IX. Таким образом, чтобы найти diydA, мы просто умножим А на число, равное степени, в которую X был возведен, и затем уменьшим значение показателя степени на единицу, т.е. X2 становится 2-Х1. Это можно представить в общем виде для функции Y - X так:

АУ/оХ=пХ-1. (3.6)

Применяя это к упомянутой выше функции У = 4 + X2, получаем

dY/dX = 1-1 Xх = 4Х. (3.7)

Заметьте, что свободные члены исчезают при дифференцировании. Поскольку мы уже видели ранее на рис. 3.1, что свободный член не влияет на наклон графика*функции, то можем сказать, что скорость изменения Уне зависит от значения свободного члена.

Теперь, рассмотрев основные принципы дифференцирования, мы можем вывести основные правила дифференцирования.

Нахождение производных от константы

1. Для функции У = a

AY/AX = 0. (3.8)

В этом случае У равен константе а, которая по определению не может изменяться.

2. Для функции У= ЪХ

d У/АХ = Ь. (3.9)

В этом случае У увеличивается с постоянной скоростью, равной ЬХ, таким образом, прирост У в зависимости от прироста X постоянен и равен Ь. График функции У = ЬХ представляет собой прямую линию.

3. Для функции У= а + ЬХ

d Y/dX = Ь. (3.10)

В соответствии с правилом 1 мы игнорируем а, и У изменяется с постоянной скоростью ЬХ, в соответствии с правилом 2. График функции У= а + ЬХ представляет собой прямую.

Производная степенной Функции

4. Для У= X

dY/AX=nXn~l. (3.11)

5. Частный случай правила 4, когда X возведен в отрицательную степень, т.е. У = Х~ . В этом случае мы умножаем Л на я в соответствии с правилом 4 и уменьшаем значение степени я на 1. Например, для функции У= Х~2

dY/dX= -2Х-3 . (3.12)