Этот случай особенно важен для управляющего портфелем ценных бумаг, поскольку используется при определении чувствительности цены облигаций. Это проиллюстрировано далее в этой главе.

6. Второй частный случай правила 4 применяется для X в дробной степени, например Y = X1/ ; Xх!п является корнем п степени из X; ХР/ - это корень п степени из Лв степени р.

Если Y= X1/

1 i-i

dY/dX=--X . (3.13)

Например, для Y= Л1/3 (то же самое, что и 1[х )

dY/dX= =\-Х 3 = -1=.

3 3 З3

Производная суммы двух функиии от X

7. Для функции Y= и + v, где и и v - функции от X

d Y/dX = du/dX+ dv/dX. Например, для Y= 2Х4 + ЗЛ2

dr/cUr=8A3 + 6A:

8. Для функции Y= u-v. гле и и v - функции от X

dY/dX= du/dX-dv/dX. Например, если Y= ЗА3 - IX

dY/dX= 9Х1 + 2.

Производная произведения двух Функции от X

9. Если Y - произведение двух функций от X, то dY/dX будет равно произведению одной функции на производную другой плюс произведение другой функции на производную первой. Так, для Y= u-v

Y/dX = v(du/dX) + u(dv/dX). (3.16)

(3.14)

(3.15)

Нахождение производной отношения двух Функции от X

10. Для функции Y= u/v

dY/dX=[v(du/dX)-u(dv/dX)]/. (3.17)

Например, предположим, что u = 5X+2nv = 4Х2

du/dX= 5; dv/d*= U;

dY/AX i§)-**+<%)

йЩХ= -(и?-;

d 4(5)-(52)(8x)

(4X )

-5x - 4

(Это выражение может быть дальше упрощено до-,-).

Производная сложной Функции

11. Для функции Y = J{u), где и в свою очередь функция от другой переменной, например и = у(х)

dY/dX = (dY/du)-(du/dX). (3.18)

Это правило цепного дифференцирования.

Например, если Y = (5Х + 2)-(4Х2), то мы можем заменить правую часть на u-v, где и = 5Х + 2, и v = АХ1. Первый шаг - это нахождение dy/dXvi dv/dX:

йи/йХ=5, dv/dX=8X.

Второй шаг - нахождение vidu/dX):

4Х2 -5 = 20Х2. Третий - нахождение u(dv/dX):

(5Х+ 2)SX = 40Х2 + \6Х.

Тогда,

dY/dX= 20Х2 + 40Х1 + \6Х= 60Х1 + 16Х.

Для иллюстрации рассмотрим функцию Y = (2Х3 + З)6. Y здесь будет равен и6, если и = 2Х3 + 3. Отсюда

du/dX = 6Х2 и dY/du = 6и5.

Соответственно dy/dX = 6м2 6х2. Тогда

dY/dX = 6(2Х> + З)5 (ЬХ1).

Производная экспоненциальной функипп

Экспоненциальная функция является особо важной в исчислении, поскольку кроме нулевой функции это единственная функция, не изменяющаяся при дифференцировании.

12. Например для Y= ех

dY/AX=ex. (3.19)

13. При Y= е**

&Y/&X= ж х. (3.20)

Например, для Y= езх

dY/dX= Зе3*

14. Если е возведено в более сложную степень, допустим

у= еХ3 + 2Х2 t

то мы применим правило цепного дифференцирования (3.18). Например, пусть степень е будет представлена и, тогда Y = е . Затем находим du/dXи dY/dXK&K dY/du-du/dX. Согласно приведенному выше правилу (12) dY/du = е4, и:

du/dX - ЗХ2 + 4Х.

Таким образом,

dY/dX= -(du/dx). (3.21)

Получаем

(ЗХ2 + 4Х) е*3 + 2x2 .

Производная натурального логарифма

15. Если Y= \ogeX, то

AY/AX= 1/Х. (3.22)

Таким образом, производной натурального логарифма является число, обратное X.