ПРИМЕНЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

Применение рядов Тейлора при оиенке изменении иены облигации

Рис. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции цена-доходность на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т.д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации.

Чтобы показать, как применять ряды Тейлора для нахождения изменений цен облигаций, рассмотрим простой пример однолетней облигации с нулевым купоном, 100% которой соответственно выплачиваются спустя один год. Если доходность на момент погашения составляет 10%, то текущая цена составит 90,91. Таким образом, Р = Д0,10) = 90,91. Какова будет цена при изменении доходности с 0,10 до 0,11? Мы можем сделать линейную аппроксимацию к изменению, прибавляя первую производную, умноженную на изменение доходности, к постоянной и получим:

90,91 + h(dP/dy),

учитывая, что Р = fly) = Р = 100/(1 + у). Получаем:

£-V (3.25)

dy jil+y)2

Таким образом, при у = 0,10

= °-= 82,6446. dy 1,102

Линейная аппроксимация к Р при у = 0,11, т.е. Р =Д0,11) будет 90,9090-(0,01 82,6446) = 90,0836.

В действительности, однако если доходность мгновенно поднимется до 0,11, цена; облигации упадет только до 90,09. Следовательно, линейная аппроксимация недостаточно точна. Мы видим на рис. 3.3, что линейная аппроксимация преувеличивает понижение цены облигации.

Мы можем улучшить приближение, применяя квадра-тическая аппроксимацию, которая задана следующим образом:

P(y+h)=fiy)+ ~h\ (3.26)

Чтобы продолжить, мы должны вспомнить, что 1/у равно у~1, 1/У2 = У~2> и это может быть обобщено как

l/f = у- . (3.27)

Соответственно

1/(1 + у)1 = (1 + у)-1; 1/(1 + у)2 = (1 + у)-2 и 1/(1 + у)т = (1 + у)-т.

Мы должны применить это правило при определении второй производной. Вторая производная - это всего лишь производная oi первой производной.

dp ~ш -100- 1

dy (1+у)2 (1+у)2

а это то же самое, что и

-100 (1 + у)-1. Дифференцируя, получаем

-2 (-100) (1 +у)~ъ.

Таким образом, вторая производная цены данной облигации с нулевым купоном будет:

d2P 200 dy2 (1+у)3

При Y- 0,10 соответственно будем иметь:

1р= = 150)2630.

Ау2 (1,10)3 Квадратичное приближение будет равно:

90,0826 + 1/2 (150,2630-0,012) = 90,0826 + (0,5-0,0150) = 90,0901.

Это равно действительному значению с точностью до четырех знаков после запятой.

Применение исчисления для измерения риска иены облпгаипй

Первый член рядов Тейлора, деленный на цену облигации, известен как модифицированная дюрация, второй член - как выпуклость. Члены более высокого порядка обычно считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации.

Волатильность облигаций

Теперь мы используем некоторые рассмотренные выше концепции для определения ценовой волатильности облигации. В гл. 1 мы объяснили, что совокупная доходность облигации является внутренней ставкой дохода в год, что равняется стоимости-будущих денежных потоков на текущую цену облигации.

Текущая цена купонной облигации рассчитывается следующим образом:

GF, GF2 GF, GF

Рсв~<Й7) + (i + y? (328)

где у - периодическая совокупная доходность, т.е. внутренняя ставка дохода, отражающая периодичность денежных потоков.

Угол наклона касательной к кривой является первой производной цены по доходности. Первая производная, деленная на цену, дает процентное изменение цены облигации в ответ на изменение доходности на 1%, известное как модифицированная дюрация.