Для того чтобы понять, как берется первая производная dP/dy для каждой облигации, мы сначала рассчитаем ее для текущего значения одного единственного денежного потока

PGFf-r, (3.29)

где 1/(1 + уУ - дисконтный множитель. Это является текущей стоимостью одной единицы, дисконтированной по соответствующей процентной ставке на Т периодов времени. Очевидно, что умножая сегодняшнюю стоимость одной денежной единицы на сумму к получению в будущем, мы получим сегодняшнюю стоимость будущего денежного потока.

Мы можем использовать правило 5 дифференцирования, приведенное выше, но сначала преобразуем функцию (3.29) следующим образом:

Р= CFT(l +у)-т. (3.30)

и dP/dY

2L= ( T)CFr(l +у)-(Г+1>. (3.31)

Так как лучше преобразовывать отрицательные показатели степеней в положительные, где это возможно, то получим

GFr (3 32)

Это может быть распространено и на нахождение первой производной цены облигации по ее доходности на основе применения правила 7, учитывая, что купонная облигация может рассматриваться как портфель с нулевым купоном облигаций. Таким образом, применив правило 5 для нахождения dP/dy для каждого денежного потока, затем в соответствии с правилом 7 складываем первые производные для нахождения dP/dy для облигации в целом. Например, используем уравнение купонной облигации (3.28).

Это может быть выражено так:

Рсв= CF,-(1 + УГ1 + CF2(l + у)-* + CF3(\ + у)-3 + ... + CF (l + у)--

Поскольку мы уже рассчитали dP/dY для беспроцентной облигации, то dP/d Y для отдельных денежных потоков будет равняться:

-для CF2 = dy

(-2)CF2 , (1Г

dP3 (-3)CF3

l + >,4

для CFn = (- )Cf , ,

(3.33)

где dP/dy - сумма dPx/dy + dP2/dy + dP3/dy +... + dPJdy. Следовательно, сложение отдельных производных в соответствии с правилом 7 дает

dP = (-l)Cfl + (-2)CF2 + + + (-it)CF,

(i + y)2 (i + y)3 (1 + у)4 О + уГ1

Преобразовав уравнение (3.34) и разделив его на Р (или умножив на \/Р), получим

dPJ dy Р

(1 + у)

(-DC/J , (-2)СД, , (-3)CF3 , , (-яОД

(1 + у)1 (1 + у)2 (1 + у)3

+...+-

(1+у)

j. (3.35)

Выражение в скобках называется дюрацией Маколея (Ма-сашауч duration, 1938) Правая часть уравнения (3.35) известна как модифицированная дюрация и используется специалистами рынка облигаций как индикатор процентного риска облигаций. Модифицированная дюрация может быть интерпретирована как приблизительное процентное изменение цены облигации в результате изменения доходности на 1% при бесконечно малых изменениях доходности в следующий период времени.

Заметьте, что в расчетах дюрации совокупная доходность используется как ставка дисконтирования. Это предполагает, что временная структура процентной ставки является прямой, поскольку одна и та же ставка используется при дисконтировании всех денежных потоков независимо от их времени. Отсюда следует предположение, что временная структура может измениться на параллельную. Эти предположения не подтверждаются эмпирическими данными. К этим вопросам мы вернемся в гл. 11.

Численный пример модифицированной аюраиии

Для иллюстрации применения дифференциального исчисления при нахождении модифицированной дюрации используем уравнение (3.35). Возьмем двухлетнюр облигацию, по которой выплачивается 5 единиц каждые полгода, с совокупной доходностью 8% годовых. Модель цены и денежных потоков будет выглядеть следующим образом:

1,04 (1,04)2 (1,04)3 (1,04)4

= 4,8077 + 4,6228 + 4,4450 + 89,7544 = 103,6299.

Сначала мы должны оценить аргументы внутри квадратных скобок в уравнении (3.35)

-15 -2-5 t -3-5 -4-5

(1,04) (i,04)2 (1,04)3 (1,04)4 = -4,8077 + (-9,2456) + (-13,335) + (-359,0175) = -386,4058, (3.36) затем умножаем полученную величину на 1/(1 + у) ± (-386,4058) = ~ £5* = -371,5440.

Наконец, делим этот результат на цену облигации Р = 103,6299:

-371>5440 = ,<853 103,6299

Эта модифицированная дюрация выражена в периодах денежных потоков. Для удобства работы на рынке облигаций дюрация выражается в годах и знак минус опускается. Поскольку по данной облигации выплаты по купону производятся дважды в год, дюрация в годах будет найдена делением 3,5853 на 2, таким образом, получим 3,5853/2 = 1,7926.

Модифицированная дюрация может быть интерпретирована как индикатор чувствительности облигации к относительной процентной ставке. В частности, процентное изменение цены облигации может быть найдено как отрицательная модифицированная дюрация, умноженная на процентное изменение совокупной доходности. В данном случае если доходность возрастет на 0,5%, то цена облигации упадет на 0,5-1,7926 = 0,8963%.