Вторая производная - скорость изменения скорости изменения

Если мы обратимся к рис. 3.2 и 3.3, то увидим, что на обоих графиках тангенс угла наклона касательной в разных точках кривой разный, очевидно, что он непрерывно изменяется по мере того, как мы движемся вверх или вниз по кривой. Это очень важно, поскольку скорость изменения переменной Y, обозначенная как dY/dX, может быть найдена только для определенного значения X. Таким образом, также важно знать и то, с какой скоростью d Y/dX изменяется по мере изменения X. Это изменение d Y/dX называется второй производной Y по X и обозначается iPl/dA2.

Соответственно если d Y/dX обозначает скорость изменения, то d2Y/dX2 показывает, является ли эта скорость возрастающей, убывающей или постоянной.

Для взятия второй производной достаточно всего лишь продифференцировать первую производную. Таким образом, если

Аналогично третья производная является производной второй и т.д.

Применение второй производной: выпуклость облигаиии

Одно из применений второй производной - улучшение измерения чувствительности цены облигации при помощи модифицированной дюрации. Мы можем воспользоваться нашим знанием второй производной функции цены облигации от совокупной доходности для того, чтобы рассчитать то, что называется выпуклостью облигации.

Чтобы показать это на примере, вернемся к анализу одного денежного потока. Взять производную dP/dy одного денежного потока можно так:

Y= X2 ц dY/dX = IX, то

d2r7<U? = 2.

(3.37)

dP dy

= (-7)С*У(1 +y)-ir+

(3.38)

что можно представить в виде , *

d2f -(.T + l)(-T)CFT dy2 (l+y)

Найдем вторую производную каждого денежного потока: d2P,

2--п , № <140>

--для CF, = (-2) (-1)С/\(1 + у) 4 для CF2 = (-3) (~2)CF2(\ + у)-*

для CF3 = (-4) (-3)CF3(1 + y)-s

f для СТ = (-( + 1)) (-/0CF (1 + у)-( + 2).

d2/>

Преобразовав эти выражения, получим

для CFl йу2

- для

d2 Ci, = (-(я + l)(-n)CF = ( + l) CFn d/2 (1+у)п+2 (l + y) +2

Складывая отдельные производные в соответствии с правилом 7, приходим к следующему выражению:

d2P2 (2)CFi + (6)CF2 { (12)СУ3 , +n.(n + l)CFn

dV2 (} X V3 l\ X ,Л4 П X v45 l\ X V + 2

Для того чтобы взять вторую производную, продифференцируем первую производную:

= (r+ l)(-T)CFT(l + у)~(т+2\ / (3.39)

Применение дифференциального и интегрального исчислений

Численный пример выпуклости

Проиллюстрируем применение второй производной в управлении рисками облигаций путем нахождения выпуклости двухлетней облигации, рассмотренной выше. Выпуклость равняется половине второй производной функции цены облигации, деленной на цену облигации.

Вторая производная цены облигации будет равна:

12-5

(1,04)3 (1,04)4 (1,04)

20-105 (1.04)6

8,890 + 25,644 + 49,316 + 1659,661 = 1743,510. При цене облигации, равной 103,6299, выпуклость будет равна J 1743,510 2

8,4122.

103,6299

Как и. в случае с модифицированной дюрацией, в практике рынка ценных бумаг выпуклость измеряется в годах в квадрате. Поэтому необходимо разделить полученную величину на число денежных потоков в год, возведенное в квадрат. В данном примере имеются два денежных потока в год, значит, делитель будет равен 22 = 4. Таким образом, выпуклость равна 2,1031.

Также можно использовать исчисление для нахождения при-ближеньгх значений модифицированной дюрации и выпуклости купонной облигации, если предположить, что соответствующая учетная ставка равна ставке валовой совокупной доходности.

Купонные денежные потоки по облигации могут быть рассмотрены как аннуитеты плюс выплата номинала облигации. Текущая стоимость аннуитета, выплачивающего С в течение я лет, составляет

Р = С

(3.41)

Таким образом, цена облигации, выплачивающей С в течение п лет, плюс выплата 100:

[i/0 + y)n]