Мы получим значение модифицированной дюрации, беря первую производную и деля ее на Р. Вторая производная может быть использована для определения выпуклости. Начнем с первой производной.

Сначала представим уравнение (3.42) в виде, более удобном для дифференцирования: *

Р= С

(1 + у)

Первая производная dP/dy будет:

у-1 + 100(1 + у)- .

дР dy

у~2 +

100л

(1 + у)

(3.43)

1(1+у) ) y(i+y)

\Л+1

100л

10 + уУ )

0 + уУ

(3.44)

Разделив первую производную на грязную цену облигации Р, получим модифицированную дюраиию:

MOD DUR =

(1+у)

г 10о1

(1 + у)

(3.45)

Аналогично определяем выпуклость. Первая производная уравнения (3.44) будет

2С ,.з

1 ,1 .с

(i+у) JV

(1 + уГЧ (i+,)-+2U lwJ + (i+,rl у2)

Разделив сумму аргументов на удвоенную грязную цену облигации Р, получим

1С ..з

п(п + 1) /, \л+2

j-ioo)

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

(3.46)

В области финансов существует множество ситуаций, когда бывает нужно знать максимум или минимум функции. Например, мы хотим узнать, какая комбинация активов несет в себе минимальный уровень риска, при этом достигая требуемого уровня доходности. Кроме того, возможны ситуации, когда нам нужно максимизировать вероятность того, что параметры, используемые в модели, являются действительными. Проблемы первого типа подробно рассмотрены в гл. 9, которая раскрывает вопросы оптимизации. Проблемы второго типа разобраны в приложении к гл. 7, где рассмотрены вопросы максимальной вероятности оценки, в частности применительно к анализу временных рядов.

Первая и вторая производные могут быть использованы, когда определяют, является ли данная точка кривой пиком (максимумом), либо дном впадины (минимумом), либо точкой перегиба, где кривая из выпуклой становится вогнутой, или наоборот. Пример пиков и впадин приведен на рис. 3.4.

На рисунке мы ясно видим, что точка А является локальным максимумом. Другими словами, значение функции не возрастает и не убывает, т.е. первая производная равна 0. Точка В находится на дне впадины, она является локальным минимумом, и здесь первая производная также равна нулю. Точка С - точка перегиба, она не является ни максимумом, ни минимумом, но первая производная в этой точке тоже равна нулю. Таким образом, локальный максимум, локальный минимум и точка перегиба имеют одну общую черту - они являются особыми точками, или экстремумами функции, где dy/dx = 0 в каждом случае.

Если признаком всех экстремумов является равенство нулю первой производной, то как определить, является ли данная точка максимумом, минимумом или точкой перегиба, не пользуясь при этом рисунком графика функции?

Ответ дает вторая производная. Когда dY/dX = 0 и вторая производная больше нуля, dlY/dX2 > 0, точка является минимумом. Если же dY/dX = 0 и вторая производная в этой точке меньше нуля т.е. dtY/dX2 < 0, то точка является максимумом. Чтобы понять это, вспомним, что вторая производная показывает, как изменяется первая производная. Теперь посмотрим, что происходит с первой производной в точке А. Слева от точки А производная выше нуля, а справа ниже, таким образом, в точке А значение первой производной меняется с положительного на отрицательное, изменение отрицательное, следовательно, и вторая производная меньше нуля.

Рис. 3.4. Максимумы и минимумы

Теперь посмотрим, что происходит в точке В. Слева от точки первая производная меньше нуля, справа - больше, само изменение положительно, таким образом, и вторая производная больше нуля.

Если же и первая и вторая производные равны нулю, то данная точка является точкой перегиба. Чтобы понять это, снова взглянем на рис. 3.4. В точке С первая производная равна нулю. Слева от точки она меньше нуля, а справа - больше, но в точке С она равна нулю. Таким образом, точки перегиба - это точки,

dY/dX=0 u2Y/dX=0

В dK/d#=0 d2Y/dX>=0