где обе производные - и первая и вторая - равны нулю, но вторая меняет знак.

Итак, мы можем вывести несколько правил по определению максимумов, минимумов и точек перегиба:

1. Любая точка, где dY/dX = 0, является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом, либо точкой перегиба.

2. Если в этой точке d2Y/dX2 меньше нуля, то это точка локального максимума.

3. Если в этой точке d2Y/dX2 больше нуля, то это точка локального минимума

4. Если в этой точке dY/dX2 равно нулю и меняет знак, то это точка перегиба.

Нахождение минимальных

и максимальных значении функиии

Теперь мы можем использовать наше понимание минимальных и максимальных точек для нахождения максимальных и минимальных значений функции. Для этого мы должны найти точки, в которых первая производная равна нулю. Таким образом мы определим экстремумы функции. Затем рассчитаем вторую производную. Если эта величина меньше нуля, то точка является точкой локального максимума. Если же найденная величина больше нуля, то в данной точке мы имеем локальный минимум.

Эти позиции проиллюстрируем следующим образом. Найдем максимум функции Y= 4Х3-2Х.

Первым шагом будет нахождение dY/dX, при которых первая производная равна нулю. Таким образом:

Отсюда одна из точек экстремума X = 0,4028, а другая - X = -0,4028.

§=12-2 = 0; :Л2Х2 = 2;

Следующий шаг - определение знака второй производной данной функции

d2r dX2

24Х.

При X = + 0,4028 вторая производная больше нуля, следовательно, это точка локального минимума. При X = -0,4028 вторая производная принимает отрицательное значение и, таким образом, это точка максимума. Для определения значения Y в точке максимума подставим -0,4028 вместо X в функцию, Y = 4Хг - 2Х, т.е.

К= 4 (0,4082)3-2 (0,4082) = 0,02721 - 0,8164 = -0,5443.

аПФФЕРЕНиПРОВАНПЕ ФУНКШ1Й НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

До настоящего времени мы рассматривали функции одной переменной. В финансах, как и во многих других областях экономики, одна переменная очень часто является функцией нескольких других переменных. Когда мы дифференцируем такую функцию только по одному из ее аргументов, мы вычисляем частную производную.

Уравнения, которые содержат частные производные, известны как уравнения частных производных, они особенно важны при оценке с помощью производных. В гл. 10 мы увидим, как непрерывно-временные уравнения частных производных используются при определении цены опционов.

Взятие частных произвопных

Рассмотрим функцию Y = J[X,Z), где X и Z - независимые друг от друга переменные. Можно взять производную такой функции по одной из переменных, допустив, что другая остается неизменной. Такой вид дифференцирования и называется взятием частной производной.

Частная производная обозначается dY/dX вместо dY/dX.

В соответствии с правилами дифференцирования функции с более чем одной переменной функция дифференцируется по ка-

<ой-либо переменной, остальные переменные рассматриваются как шстанты. Таким образом, для взятия частных производных от

Y=X1 + 2Z3 + Z2 (3.47)

ы находим dY/dX, принимая Z3a константу, и dY/dZ, принимая Хза. константу. Например

дх 2Х

§=6Z> + 2Z

Теперь рассмотрим функцию трех переменных Y=X4+ W3X + XZ-4Z3,

Ц-=4*3 + W3 + Z,

j=W2X, (3.48)

?L=X-\2Z\ dZ

Полученные результаты говорят, что dY/dX показывает, что по мере возрастания X Убудет увеличиваться на (4Х* + + Z) ЗХ. Если возрастает W, то У возрастает на 3№Х д W, и если увеличиваемся Z, го Гви-ipaciaei на (X-12Z2) BZ.

Вторые производные cPY/dX2, д2 Y/д W2 и cPY/dZ2 показывает, как ведут себя предельные изменения У, когда X, W или Z изменяются, но остальные две переменные остаются постоянными.

Если же мы хотим узнать, как изменяется д Y/д W при изменении X, мы берем производную д У/9 W по X. Это записывается как Ф-Y/dXdW, т.е. показывается, что мы хотим найти, как изменяется 3Y/8W при изменении X. Аналогично, если мы хотим найти влияние изменения Z на dY/dW, мы должны найти c-Y/dZdW. Запись эбозначает, что мы берем производную д Y/д W по Z, т.е. 8Z.

Можно также использовать обозначение d/dZ, чтобы показать, что мы берем производную по Z