Полный анФФеренинал

Полный дифференциал объясняет, как изменяется Y при изменении всех независимых переменных. Рассмотрим еще раз Y = j\W, X, Z). При малых изменениях независимых переменных *

WW--

Заметьте, что 5х или АХ используется для обозначения малого изменения X.

Для обозначения того, как Y изменяется в ответ на одновременное изменение всех аргументов, мы сложим произведения частных производных на малые изменения соответствующих переменных. Полное уравнение выглядит следующим образом:

где Д Y известно как полный дифференциал. Для примера снова обратимся к функции

Y - X4 + W*X + XZ-4Z3; - = 4Х3 + W3 + Z;

Полный дифференциал функции выглядит следующим образом:

ДГ= + (4*3 + W3 + Z)(AX) + (,3W2X)(AW) + (X-UZ2)(AZ).

Максимумы п минимумы Функиии нескольких переменных

При рассмотрении этой темы ограничимся разбором случая функции двух переменных. Пусть это будет функция J[X, Y). Теперь мы можем найти две частные производные и четыре вторые частные производные:

а/ а/

dXdY

а2/ а2/ а2/

дХ2 dY2 дШдХдУ

(3.50)

(3.51)

При этом заметим, что

а2/ а2/

дШ dXdY (152)

В случае с двумя переменными существуют три типа экстремумов - локальный максимум, локальный минимум и седловина, схожие с наивысшими точками горных перевалов - горные пики по сторонам и долины спереди и сзади.

Условия для так называемых сильных экстремумов следующие.

Локальный максимум

Критерием для локального максимума является равенство первых производных нулю, т.е.

дХ dY

Кроме того,

а2/ эх2

<о,

а2/ а2/

дХ2 dY2

{dXdYJ

(3.53)

(3.54)

Локальный минимум

Критерием для локального минимума является равенство первых производных нулю, т.е.

дХ dY

(3.55)

и также

а2/ а2/ эх2 BY2

{dXdYJ

(3.56)

Приведенные выше условия относятся к сильным локальным экстремумам. Слабые локальные экстремумы, которые являются гребнями вместо пиков и долинами вместо дна чаши , находятся таким же образом, только знаки < и > заменяются на < и >.

Максимумы п минимумы функиии на опрепелениом интервале: оператор Лагранжа

Существует множество примеров ситуаций в бизнесе и финансах, где было бы нужно знать максимальное либо минимальное значение функции на определенном интервале. Например, при управлении портфелем желательно знать ожидаемый доход при условии установленного минимального уровня риска. Мы воспользуемся так называемым оператором Лагранжа.

Например, предположим, что хотим найти максимум следующей функции

Д = 5ЛГ+ 2X2-4Y (3.57)

при ограничении

2Х+ Y= 20. (3.58)

Первым шагом будет преобразование функции ограничения таким образом, чтобы в правой части остался 0, т.е.:

20 - IX- У= 0.

Полученное выражение ограничителя затем умножается на неопределенную переменную X - множитель Лагранжа

Ц20 - 2Х- Y) = 0. (3.59)

Затем вычитаем полученную функцию из (3.57) и получаем новую функцию

L(X,Y, Х) = 5Х+2Х2- 4Y- X (20 - 2Х- Y).

(3.60)