Существует два вида интегрирования, первый является по сути процессом, обратным дифференцированию, и называется вычислением неопределенного интеграла. Таким образом, исходя из

Новая функция известна под названием оператора Лагранжа или лагранжиана; она дифференцируется по всем переменным, включая к. Таким образом

% =5 + 4Х+2Х = 0, дХ

отсюда 5 + АХ = - 2\,

§ =-4+1-0,

получаем X = А,

- = 20-2X-Y= О, дк

отсюда 2Х + Y= 20

решаем

к = А, 5 + 4ЛГ = -2Х,

2Х = 8, .-.5 + АХ = -8, АХ = -13, :.Х = -13/4 = -3,25, 2ЛГ+К=20, 2(-3.25) + У= 20, -7.5 + К =20, Y= 27,5.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (ИНТЕГРИРОВАНИЕ)

производной, мы можем судить о виде первоначальной функции. Второй вид интегрирования - это процесс нахождения площади, ограниченной кривыми, известный как нахождение определенного интеграла. Мы увидим, что по сути своей оба процесса являются одним и тем же. (Это основная теорема (математического) анализа). . *

Интеграл обозначается-в виде вытянутой буквы s, I и всегда сопровождается обозначением переменной, по которой дифференцирована исходная функция. Таким образом, ШйХ обозначает взять интеграл X2 по X.

Неопределенный интеграл

Проиллюстрируем неопределенный интеграл, называемый также обратным дифференцированием, на примере функции Y = аХ . Мы знаем, что dY/dX= паХ ~1. Производя обратный дифференцированию процесс, получим некую исходную функцию. Например,

Y= lnaX -ldX. (3.61)

Это обозначает взятие интеграла от паХ ~х по X. Ответом здесь будет

Y=\naX -ldX= аХ . (3.62)

Для взятия неопределенного интеграла нам нужно выполнить всего лишь несколько простых правил:

1. Для интегрирования Y- X мы прибавляем 1 к показателю степени и делим X на новый показатель степени. Например, для функции 4Х прибавляем 1 к показателю степени, т.е. 4ХХ+Х и разделим на 1 + 1 = 2. Отсюда неопределенный интеграл будет равен:

4ХМ 4Х2 2

2. Вспомните, что все константы исходной функции теряются при дифференцировании. Следовательно, при интегрировании мы должны принять во внимание константы, хотя и не знаем их значения. Так, С, производная постоянная интег-

рирования, обычно прибавляется к результату интегрирования. Именно по причине того, что величина С не определена, этот вид интегрирования называется неопределенным.

Таким образом, правило интегрирования степенной функции можно отобразить в следующем виде: прибавить единицу к показателю степени, разделить на первую экспоненту и прибавить константу, т.е.

г У +1

\X dX = --- + С . (3.63)

J л + 1

Нахождение плошади под кривой

Для нахождения площади под кривой мы можем использовать то, что только что узнали о неопределенных интегралах. Однако перед этим мы должны ввести новую концепцию -концепцию первообразной.

Первообразная - это функция F, первая производная которой равна функции / Таким образом, если 2Х - это первая производная от X2, то X2 является первообразной от 2Х. Выше мы уже рассмотрели, как взять неопределенный интеграл. Можно воспользоваться этим при нахождении первообразной, поскольку неопределенный интеграл и является первообразной этой функции. Таким образом, первообразная 2Х будет

а первообразная X2:

x = xl

2 + 1 3

Довольно скоро понятие первообразной понадобится нам, а пока мы ненадолго оставим эту тему.

Теперь рассмотрим рис. 3.5. Диагональная линия определяется функцией Y - X. Площадь квадрата OaMi равна X2, где X = Ху. Площадь треугольника ОЬХу должна быть равна половине площади квадрата, т.е. Х?-/2. Например, если X- 2, площадь под кривой между 0 и X = 2 будет 22/2 = 4/2 = 2.