АХ X,

Рис. 3.7

Теперь рассмотрим один из таких прямоугольников поближе, как это показано на рис. 3.8.

Рис. 3.8

Заметьте, что левый прямоугольник по сути состоит из трех меньших прямоугольников. Первый с шириной ААо и высотой У, соответствующей точке J на кривой. Второй - с высотой Y + А У, соответствующей высоте в точке К. Третий, наименьший, наверху, имеет высоту А У Очевидно, что площадь прямоугольника AXq(Y + А У) больше площади под кривой между точками / и А , в то время как прямоугольник ДАоУ - меньше.

тервалы, в течение которых функция возрастает. Схожая ситуация и в случае убывания функции.

Y+AY>2±>Y, (3.68)

тогда

6XY- <3-69>

Поскольку Y - функция X, то dA/dX= Y = f(X). Таким образом, dA/dX равняется высоте кривой.

Для того чтобы найти площадь под кривой между а и Ь, мы интегрируем dA/dX для значений X между а и Ь. Это делается с помощью первообразной функции Y.

Таким образом мы показали, что вне зависимости от того, является ли функция Y = f(X) линейной или нелинейной, площадь под кривой может быть найдена путем взятия определенного интеграла с применением первообразной

\f(X)uX = F(b)-F(a). (3.70)

Если обозначим всю площадь под кривой OabX\ через а и действительную площадь под кривой над AXq - как аа, то взаимоотношение может быть представлено так:

(Y+ aY)(AXq) > аа> (Y)(AXq). (3.65)

Если мы поделим эту функцию на aXq, то получим

Y+AY>=±>Y. (3.66)

Теперь рассмотрим, что происходит по мере того, как АХ уменьшается. Мы видим на рис. 3.8, что ДЛ меньше, чем АХр, который в свою очередь меньше AXq, и размер прямоугольника A Y АХ становится меньше и меньше. Соответственно превышение площади прямоугольника над площадью под кривой становится меньше. Посмотрим, что случится, когда АХ приблизится к нулю. В этом случае

АА йА

Jxlx (167)

и неравенство (3.66) становится таким:

Используя ранее приведенное обозначение, это можно записать так:

\f(X)o\X = [F(X)l , (3.71)

где F(X) - первообразная функции Y = f[X).

Покажем это на примере функции Y= Л4 + ЪХ- 3. Нам нужно вычислить площадь под кривой между X = 3 и X = 6, точнее

\{х* + ЗХ - 3)(УГ. (3.72)

Первообразная этой функции

X5 ЗХ2

5+- 2

- ЗХ

(3.73)

При определении значения функции между X = 3 и J = б получаем

Длг4 + ЗЛГ - з)сУГ =

Л° ЗА

- ЗХ

(3.74)

Теперь подставляем 6 вместо Лв правую часть уравнения (3.74):

(3.75)

б5. + 3(6)i 3(6) = 2?i + M-18 = 1591,2.

5 2 5 2

Подставляем 3 вместо Jb правую часть уравнения (3.74)

243 27

(3.76)

Площадь под кривой будет равна разности между (3.75) и (3,76), т.е. 1591,2-53,1 = 1538,1 кв.ед.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите первую производную по Y следующих функций по X:

Y=X2, Y=XX\

Y= СХ,

Y=X-\

Y=XX2.