ВВЕДЕНИЕ

В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятность - это мера того, что какое-либо случайное событие произойдет. Вероятность может принимать значения от О (невозможное событие) да 1 (достоверное событие). Распределения вероятностей - это математическая модель вероятности наступления случайных событий.

Теория вероятностей играет важную роль в финансах, поскольку практически во всех случаях результаты принятых финансовых решений неопределенны. Например, большинство людей считают будущую цену акций неопределенной, поскольку цены акций изменяются изо дня в день. Можно предполагать, какова будет цена акций в будущем, но мы принимаем, что в действительности цена может отличаться от предполагаемой. С другой стороны, процентные выплаты по банковскому депозиту с фиксированной ставкой также являются неопределенными, поскольку существует вероятность того, что банк обанкротится и мы не сможем получить ожидаемой суммы. Мы вряд ли ожидаем, что банк разорится, иначе мы не стали бы хранить там деньги. Тем не менее, опыт подсказывает нам, что и подобного рода учреждения могут лопнуть , и, следовательно должна быть некоторая степень, касающаяся неопределенности ожидаемого размера процентов.

Распределения вероятностей близки распределениям час ют, с которыми мы столкнулись в гл. 2. Они задают для каждого интервала всех возможных значений вероятность того, что случайная переменная примет значение в данном интервале. Распределения очень важны при принятии решений, поскольку позволяют оценивать вероятность наступления всех видов событий, и поэтому применяются в управлении финансами.

В этой книге мы уделим внимание двум группам распределений вероятностей. Первая группа, которую рассмотрим в этой главе, включает в себя те распределения, которые могут быть использованы для описания поведения рентабельности активов. Использование этих распределений позволяет нам оценить рискованность портфеля финансовых инструментов, таких, как опционы. Эта группа включает в себя нормальное, логнормальное, биномиальное распределения Пуассона и Парето-Леви.

Ко второй группе относятся распределения описательных статистических показателей (известных также как выборочные распределения), которые используются при проверке выдвигаемых гипотез. Эти распределения включают /-распределение Стьюдента, %2- и jF-распределения. Их применение будет рассмотрено в гл. 5 и 6.

Перед тем как углубиться в новую тему, необходимо уяснить значение некоторых основных терминов, таких, как испытание , событие и пространство элементарных событий . Испытание - это любое действие, которое приводит к определенному набору результатов. Конкретные результаты или сочетание их - это события, в то время как множество возможных результатов называется пространством элементарных событий. -

Цель этой главы - ознакомление читателя с основами теории вероятностей и некоторыми вероятностными моделями, применимыми при оценке рентабельности активов. Что касается теории, мы рассмотрим три подхода: классический, или априори, эмпирический и субъективный. Затем ознакомимся с правилами расчета вероятностей, после чего обсудим математические действия над случайными величинами. Наконец, мы рассмотрим несколько распределений вероятностей и примеры их использования.

Классический, или априори, подход к вероятности

Этот подход применяется, когда возможные неопределенные результаты известны и равновероятны. При помощи простой логики можно определить вероятность каждого исхода.

Рассмотрим подбрасывание монеты. Подразумевается, что должен выпасть либо орел либо решка , причем вероятности каждого результата равны между собой. Количество возможных результатов равно двум, что определяется формой монеты. Вероятность выпадения орла должна быть равна 0,5, и вероятность выпадения решки также должна быть равна 0,5. Подбрасывание монеты здесь является испытанием, пространство элементарных событий - два возможных результата эксперимента, и событие - это выпадение орла либо решки .

Таким же образом, в случае с шестигранной игральной костью, где выпадение каждой из сторон равновероятно, испыта-

нием будет метание кости, шесть разных граней представляют собой пространство элементарных событий, и событие - это грань, оказавшаяся наверху. Здесь вероятность выпадения каждой из граней будет 1/6, или 1,66666.

В каждом из описанных выше случаев вероятность результатов была определена формой монеты или кости. Это и лежит в основе классической или, априори, теории вероятностей.

При таких обстоятельствах вероятность наступления события определяется так:

Число равновероятных результатов, связанных с событием

ДЛ)= -, (4.1)

Общее число возможных результатов

где Р\А) - вероятность наступления события А.

Вероятность того, что событие А не наступит, равна Р (не А) = \-Р(А).

Эмпирический поохоа

Однако в финансах, как и во многих других сферах, мы не всегда можем полагаться на точность процесса при определении вероятностей. Например, ученый может быть вынужден повторить испытание множество раз с целью определения вероятности наступления возможных событий. Множество значений доходное! и активов в финансах практически неограничено, таким образом, у финансового аналитика может возникнуть необходимость отслеживания множества изменений цен активов для того чтобы определить вероятность будущего изменения цены на определенную величину.

В таких случаях вероятность результата Z, P\Z) рассчитывается как отношение числа (количества раз) наступления Z к числувсех событий, т.е. к числу раз проведения испытаний:

Количество наступлений Z

P(Zr- (4-2)

Число испытаний

Читатель может заметить, что это практически анализ относительной частоты наблюдений.