Правило умножения

an я независимых событий

Два события считаются независимыми в теории вероятностей, если наступление события А никоим образом не сказывается на вероятности наступления события В. Таким образом,

Р\Л\В) = Р(А). (4.5)

А В значит А при условии В .

Если события независимы, то вероятность наступления и события А и события В определяется так:

PiA и В) - Р{А) - Р(В). (4.6)

Опять-таки правильным обозначением А и В будет АлВ, но часто используется запись АпВ, где знак о обозначает пересечение.

Две переменные считаются независимыми, если обладают ковариацией друг с другом, равной нулю. Например, если два фондовых индекса не влияют друг на друга своими изменениями, то их ковариация равна нулю, и, следовательно, они независимы. Однако следует отметить, что ковариация между основными индексами обычно отличается от нуля.

Тем не менее, представим, что индексы FTSE 100 и S&P 500 не зависят друг от друга. Какова будет тогда вероятность того, что оба индекса возрастут одновременно?

AFTSE 100Т) - 0,55, i\S&? 500 t) = 0,35.

Отсюда вероятность одновременного возрастания обоих индексов будет

ДFTSE 100t и S&P 500 t) = 0,55 0,35 = 0,1925.

Правило умножения

применительно к зависимым событиям

Если события не являются независимыми, то вероятность наступления А и В определяется произведением вероятностей наступления события А (РХА)) и условной вероятности наступления события В при условии наступления А. Условная вероятность обозначается как Р(В\А). Вертикальная черта означает при условии . Так Р\В\.А) означает вероятность наступления В при ус-

ловии, что наступает А. Отсюда вероятность наступления А и В при условии, что А и В не являются независимыми событиями, находится следующим образом:

Р(Аи В) = Р(А) -Р(В\А), т.е. (4.7)

Р(В\А) = Р(Ап В)/Р(А).

Это правило применимо в случае с двумя фондовыми рынками, если между изменениями их индексов существует положительная или отрицательная ковариация. Каждое изменение состояния рынка - это событие, а условная вероятность - это вероятность роста или падения рынка, обусловленная падением или ростом другого рынка. Мы знаем, что FTSE 100 и S&P 500 не являются независимыми друг от друга, из гл. 2 мы знаем, что коэффициент корреляции между ними равен 0,793.

В нашем примере вероятность роста FTSE 100 в следующий момент времени и роста S&P 500 равна 0,3. Мы также знаем, что вероятность роста FTSE 100 равна 0,55. Отсюда можно вывести вероятность роста S&P 500, обусловленную ростом FTSE 100:

ДFTSE ЮОТ и S&P 500 Т) = FTSE I00t) /rS&P 500 t I FTSE lOOt); т.е. 0,3 = 0,55 />(S&P SOOt I FTSE lOOt).

Таким образом, вероятность P(S&P 5001 FTSE 100) = 0,30/0,55 = 6/11 = 0,5454...

ППСКРЕТИЫЕ П НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Случайная переменная - это такая переменная, поведение которой неопределенно. А поскольку поведение неопределенно, то мы можем только приписать вероятности возможным значениям таких переменных. Таким образом, случайная переменная определяется ее распределением вероятностей и возможных результатов. В гл. 2 мы классифицировали данные как дискретные и непрерывные; подобным же образом мы можем классифицировать и случайные переменные как дискретные и непрерывные. И поскольку существуют два типа случайных переменных, то также существуют и два типа распределений вероятностей - непрерыв-

ные распределения и дискретные распределения. В случае дискретных распределений вероятностей мы имеем дело с вероятностями переменными, принимающими только определенные дискретные значения. Например, бросок игральной кости может иметь только определенное количество возможных результатов со значением от 1 до 6. Непрерывные же распределения - это распределения вероятностей переменных, которые могут принимать любое значение в пределах определенного интервала.

Дискретные случайные переменные

Дискретные случайные переменные - это те, которые имеют конечное число возможных результатов. Рассмотрим ситуацию с бросанием шестигранной кости. С каждым из возможных результатов связана определенная вероятность; для нормальной кости каждая из шести вероятностей равна 1/6. Этот процесс можно смоделировать математически в виде дискретной случайной переменной.

В этом случае мы могли бы назвать случайную переменную Z и определить вероятности для Z, принимающей значения от 1 до 6, и вероятности каждого результата. Вероятности вместе со связанными с ними значениями случайной переменной и составляют функцию частот вероятностей, определяющую случайную переменную:

Значения г- 1 2 3 4 5 о

Вероятности Z = г 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Заметьте, что независимо от количества возможных результатов сумма всех вероятностей должна быть равна единице

£/>(*) = 1. (4.8).

Примерами дискретного распределения являются биномиальное и триномиальное распределения. Подбрасывание монеты приводит к биномиальному распределению результатов, поскольку результат может быть либо орлом , либо решкой . Цены активов могут падать, расти или оставаться неизменными, что приводит к триномиальному распределению, поскольку могут быть три вида результатов - рост, падение и отсутствие изменений.