Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

Непрерывные случайные переменные

Непрерывные случайные переменные - это такие случайные переменные, которые могут принимать бесконечное количество значений. Например, скорость, время, расстояние, рентабельность активов. Единица измерения может здесь представлять собой бесконечно малую величину. Для примера рассмотрим доход от какой-либо ценной бумаги. Как мы выше уже отметили, это доходность - непрерывная случайная величина. Количество возможных значений доходности может быть бесконечно велико. Например, изменение цены актива со 105 единиц до 109 даст доходность, равную 3,8% или 3,81%, или 3,8095% в зависимости от количества знаков после запятой, допускаемого нами при измерении доходности. В этих обстоятельствах нет никакого смысла в попытках нахождения вероятности значения доходности равной, скажем, 3,81%. Имеет смысл только нахождение вероятности того, что случайная переменная примет значение на каком-то определенном интервале, скажем, между 3,81% и 3,82%.

Очевидно, что найти ожидаемую величину непрерывной случайной переменной путем сложения, как в случае с дискретными переменными, трудно, поскольку пришлось бы искать сумму бесконечного множества вероятностей. Для преодоления этой проблемы мы должны определить непрерывную случайную величину не путем суммирования функции частот вероятностей, которая дает определенные вероятности, а путем интегрирования так называемой функции плотности вероятностей (см. гл. 2).

Таким образом, для случайной переменной (А) получаем

где / - функция плотности вероятностей. Из гл. 3 мы знаем, что выражение вида (4.9) характеризует площадь под кривой. Фактически функция плотности вероятностей является функцией, представляющей вероятность. На рис. 4.2 приведен пример такого графика (заметьте, что площадь под кривой графика функции плотности вероятностей должна равняться единице).


(4.9)




МАТЕМАТИЧЕСКИЕ- ПЕЙСТВИЯ

НАЛ СЛУЧАЙНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Умножение случайной величины

При умножении случайной переменной на постоянную величину вероятности остаются неизменными, но возможные результаты умножаются на данное число. Например, если X - дискретная случайная переменная, то 2Х определяется тем же распределением, что и X, за исключением того, что значения возможных результатов удваиваются (вероятности остаются неизменными).

Таким образом, если X определяется следующим образом:

Значение (г) 0 12

Вероятность того, что X = г 1/4 1/2 1/4

то 2Х определяется так:

Значение (г) 0 2 4

Вероятность того, что X = г 1/4 1/2 1/4

Сложение пвух независимых случайных величин

Теперь рассмотрим сложение случайных переменных У и X. Предположим, что X определяется так:



0 12 3 4

1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

Значение (г) 0 12

Вероятность того, что Х= г 1/4 1/2 1/4

У определяется следующим образом:

Значение (г) 4 5

Вероятность того, что X = г 1/2 1/2

Известно, что У и X независимы друг от друга. Проверяя возможные значения и их вероятности, мы видим, что У+ X задаются следующим образом:

Значение (г) 4 5 6 7

Вероятность того, что Х= г 1/8 3/8 3/8 1/8

Посмотрим, почему.

Во-первых, возможные значения:

0 + 4 = 4, 0 + 5 = 5, 1 + 4 = 5, 1 + 5 = 6, 2 + 4 = 6, 2 + 5 = 7.

Таким образом, возможные значения: четыре (один способ), пять (два способа), шесть (два способа) и семь (один способ).

Для значения суммы переменных, равной 4, т.е. 0 + 4, вероятность будет 1/4- 1/2=1/8.

Значение, равное 5, может быть получено двумя способами: О + 5 с вероятностью 1/4 1/2 - 1/8 и 1 * 4 с вероятностью 1/2 1/2 = 1/4. Складывая вероятности, получаем вероятность 1/8 + 1/4 = 3/8.

Таким же образом находим вероятность 6, получаемую двумя способами, которая равна 3/8, и вероятность 7, равная 1/8.

Заметьте, что для случайных переменных 2Х не то же самое, что и X + Л! Чтобы убедиться в этом, возьмем приведенную выше переменную X. Возможны ее значения, равные 0, 1, 2. Теперь сложим эту переменную с точно такой же переменной, т.е. X + X. Возможны результаты: 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 0+1 = 1, 1 + 1 = = 2, 2 + 0 = 2, 0 + 2 = 2, 1+2 = 3, 2 + 1 = Зи2 + 2=4. Вероятности будут:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175