математическое ожидание и дисперсия случайной переменной

Математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной переменной определяется как

£(*)=£* prober), (4.10)

где Е - оператор ожидания.

Например, случайная переменная X, определенная выше, имеет математическое ожидание, равное 1:

Е(Х) = 0 1/4 + 1 1/2 + 2 1/4 = 1.

Мы видим, что математическое ожидание случайной переменной является вероятностно взвешенным средним всех ожидаемых значений случайной переменной. Однако следует отметить, что математическое ожидание не обязательно должно быть одним из возможных значений дискретной случайной переменной. Рассмотрим пример шестигранной игральной кости. В этом случае математическое ожидание будет равно 3,5:

Это потому, что математическое ожидание является вероятностно взвешенным средним возможных результатов и подобно среднему арифметическому (см. гл. 2) может дать результат, не совпадающий ни с одним из возможных результатов.

Заметьте, что математическое ожидание группы случайных переменных является линейной комбинацией математических ожиданий каждой отдельной случайной переменной:

Е(Х+ D = Е(Х) + E(Y). (4.11)

Аналогично существует еще одно свойство случайной переменной, которое соответствует значению ожидаемого отклонения в случае большого числа испытаний. Оно называется дисперсией случайной переменной и определяется как

var(A) = ЩХ- Е(Х))2. (4.12)

Для иллюстрации этой формулы с помощью числового примера рассмотрим ожидаемую рентабельность какого-либо актива. Предположим, что менеджер по инвестициям предполагает в будущем три возможных варианта развития экономической ситуации: высокий рост, отсутствие роста и спад. Вероятности каждого из изменений оцениваются равными 0,25, 0,5 и 0,25 соответственно. Читатель уже заметил, что это пример субъективной вероятности.

Менеджер по инвестициям ожидает получить 20%-ную доходность с данного актива в случае высокого роста, 10% - в случае отсутствия роста и -4% - в случае спада.

Поскольку математическое ожидание равно сумме произведений каждого из возможных значений на его вероятность, то ожидаемая доходность актива будет составлять:

Е(г) = (0,20 0,25) + (0,10 0,50) + (0,04 -0,25) = 0,09 = 9%.

Это может быть представлено в общем виде:

£<#)-5>,Р,. (4.13)

Поскольку дисперсия случайной переменной равна сумме квадратов отклонений возможных результатов от математического ожидания, умноженных на соответствующие вероятности, то

var(r) = £(r,-r)2/>.. (4.14)

Отсюда в нашем примере дисперсия ожидаемой доходности будет равна

van = (0,20 - 0,09)2 0,25 + (0,10 - 0,09)2 0,50 + (-0,04 - 0,09)2 0,25 =

= 0,003025 + 0,00005 + 0,004225 = 0,0073.

Полученный результат выражается в процентах в квадрате, что само по себе не очень удобно. Поэтому обычно находят квадратный корень из дисперсии, называемый средним квадра-тическим отклонением. Квадратный корень из 0,0073 равен

0,085, или 8,5%.

Таким образом, мы видим, что если доходность актива - случайная переменная, то ожидаемый уровень доходности равен

математическому ожиданию, и риск, измеряемый вариацией ожидаемых результатов, описывается дисперсией или средним квадратическим отклонением.

Если мы хотим вычислить дисперсию линейной комбинации случайных переменных, то мы должны будем учесть, являются ли эти переменные независимыми или нет, т.е. мы должны посмотреть на их взаимодействие, представленное их ковариацией. В результате получаем

где covAT - это ковариация X и Y, которая рассчитывается следующим образом:

cov(*, Y) = E[(X- Е{Х))(У- ДУМ = E(XY) - E(X)E(Y). (4.16)

Говорят, что две случайные переменные некоррелированы, если их ковариация равна нулю. В этом случае уаг(* + Y) = равно var(A) + уаг(У)-

Теперь рассмотрим математическое ожидание и ожидаемую дисперсию на примере ожидаемой доходности портфеля активов и его дисперсии и среднего квадратического отклонения. Рассмотрим пример портфеля, состоящего из двух активов.

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ: РАСЧЕТЫ ДОХОДНОСТИ И СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Доходность портфеля

Доходность портфеля характеризуется средневзвешенной доходностью его составляющих. Например, доходность портфеля из двух активов рассчитывается следующим образом:

где E(Rp) - доходность портфеля;

Wa - удельный вес актива А;

E(ra) - доходность актива А;

Wb - удельный вес актива В;

Д/ъ) - доходность актива В.

\ат(аХ + bY) = a2var(A) + Pvariy) + lab - co\(X,Y),

(4.15)

(4.17)