Переменные Е(г ) и Е(гь) - ожидаемые доходности соответствующих активов. Удельные веса равняются части общей стоимости портфеля, инвестированной в данный актив.

Для наглядности рассмотрим это на следующем примере. Предположим, что доходности А и В соответственно равны 10% и 12% и портфель состоит на 60% из актива А и на 40% - из актива В. Ожидаемая доходность портфеля будет равна:

Уравнение (4.17) может быть представлено в общем виде:

Среднее квадратическое отклонение портфеля

Риск портфеля не может быть измерен нахождением средневзвешенной из дисперсий доходности каждого актива. Причина в том, что измеряя риск портфеля, мы должны учесть не только изменения доходности каждого из активов, но и то, в какой степени доходности двух активов изменяются вместе - степень их взаимодействия, или ковариацию. Эта совместная изменчивость измеряется ковариацией, или иначе, корреляцией доходности пар активов.

Из гл. 2 мы знаем, что коэффициент корреляции может принимать значения от + 1 (полная положительная корреляция) до -1 (полная отрицательная корреляция). Положительная корреляция означает, что доходности каждой пары активов в основном изменяются в одном направлении. Это соотношение тем сильнее, чем ближе коэффициент корреляции к + 1. Отрицательная корреляция показывает, что доходности изменяются в противоположных направлениях, при этом соотношение становится сильнее по мере того, как коэффициент приближается к -1.

Важность корреляции при построении портфеля объясняется следующим. Если доходности составляющих портфель активов обладали бы идеальной положительной корреляцией, то мы не получили бы никаких выгод от диверсификации, поскольку рен-

0,6 0,1 + 0,4 0,12 = 0,108 = 10,8%.

(4.18)

табельности всех активов изменялись бы в одном и том же направлении, в одно и то же время, в той же степени. И наоборот, если пары активов обладают полной отрицательной корреляцией, т.е. изменяются в противоположных направлениях, в одно и то же время и в одинаковой степени, то изменение доходности всего портфеля будет близко к нулю.

В гл. 2 мы узнали, что; среднее квадратическое отклонение портфеля из двух инструментов рассчитывают так:

°Р = Wa + W\a\ + WAWB{oaboaob) , (4.19)

где Op - среднее квадратическое отклонение портфеля;

WA и WB - удельные веса активов А и В; ст2д и а2б - дисперсии доходностей активов А и В; ст и Gf, - средние квадратические отклонения доходностей А и В;

Pab - корреляция доходностей А и В; (РаУЗсРь) - ковариация доходностей активов А и В;

Заметьте, что коэффициент корреляции равен co\AB/(aaai,). Выраженное при помощи математического ожидания уравнение (4.19) становится следующим:

oU) = W}E[{ra - E{ra)f) + WlE{{rb - E{rb)f) - WAWBPabE{{ru - E{ra)f)E((rb - E{-b))2).

(4.20)

Среднее квадратическое отклонение портфеля равняется квадратному корню из дисперсии.

Математическое ожидание п дисперсия непрерывных случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной переменной определяется следующим образом:

Е(Х)= JW(X)UX . (4.21)

Если X ограничен на каком-либо интервале, скажем, между у и z, то ожидаемое значение будет:

Е(Х) = Xf(X)dX. (4.22) у

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно будут равны:

var(*)= J(*-u)2/W; (4.23)

J+oO J(*-u)2/W. (4.24)

Поскольку разница между дискретными и непрерывными переменными существенна для построения теоретических моделей, иногда мы можем использовать непрерывные переменные при моделировании дискретных ситуаций, и наоборот. Например, рассмотрим цену некой акции на фондовом рынке в полдень на следующий день. Ясно, что существует только дискретное количество возможных значений (цены акций выражаются в фунтах, пенсах и только иногда в долях пенсов). Тем не менее, мы можем с успехом применять непрерывную случайную переменную при моделировании поведения цены акции.

Наиболее важные характеристики распределений вероятностей в Финансах

Оставшаяся часть этой главы посвящена анализу различных распределений вероятностей, применимых при оценке поведения рентабельности активов при условии соответствующих допущений. Начнем с двух непрерывных распределений - нормального и логнормального. Затем рассмотрим два дискретных распределения - биномиальное и Пуассона. Закончим рассмотрение группой других непрерывных распределений, в том числе и распределением Парето-Леви. Объясним наиболее желательные характеристики распределений с точки зрения финансового аналитика.

Вообще финансовые аналитики используют распределения вероятностей в качестве основы для предсказания распределения