цены и рентабельности активов. Следовательно, желательно, чтобы распределение обладало такими характеристиками:

стационарностью;

стабильностью;

конечной дисперсией. А

Под стационарностью понимают то, что параметры распределения вероятностей не изменяются во времени.

Наибольший интерес в финансовых активах для нас представляет цена. Однако в анализе цен финансовых активов мало пользы от распределения вероятностей, поскольку поведение цен не имеет тенденции быть стационарным. Причина может быть в том, что со временем цены активов изменяются все вместе, например, цены акций со временем растут. Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цен обычно будут выше в данном году, чем в предыдущем. Более того, цены активов могут теоретически возрастать до бесконечности, но не могут упасть ниже нуля, и поскольку цены растут, то будет наблюдаться тенденция правосторонней скошенности распределения цен.

Распределения вероятностей изменений цен также не имеют тенденции быть стационарными, потому что абсолютная величина изменения цены актива также может изменяться по мере того, как цена изменяется. Однако размер изменений в процентах, доходность актива в процентах обычно не зависят от уровня цен активов. Следовательно, доход в процентном выражении может и не меняться во времени только из-за того, что цена актива изменилась.

Стационарные распределения вероятностей доходности активов позволяют производить вероятностную оценку будущих доходов. К тому же историческая информация о доходах может быть основанием для оценки неопределенности, связанной с получением будущих доходов, и отсюда может быть основой для расчета будущих рисков. Более углубленно стационарность обсуждается в гл. 7.

Другое желаемое свойство распределения состоит в том, чтобы линейная комбинация двух распределений одного типа давала в результате распределение такого же типа. Например, линейная комбинация двух нормальных распределений дает также нормальное распределение, разве что только с параметрами, отличными от первых двух. Это свойство распределений на-

зывается стабильностью. Для демонстрации важности стабильности распределений рассмотрим распределение вероятностей рентабельности актива в течение двух однодневных периодов. Было бы желательно, чтобы распределение доходности на протяжении двухдневного периода оставалось того же типа.

Конечность дисперсии также важна, поскольку без нее эффективные оценки параметров распределения, сделанные на основе выборки, не будут приближаться к действительным статистическим параметрам генеральной совокупности по мере того, как размер выборки будет увеличиваться. Более того, мы приняли среднее квадратическое отклонение за меру риска. Оно не может быть определено, если дисперсия не является конечной. Присутствие значительного количества выделяющихся значений приводит к тому, что оценки параметров будут изменяться от выборки к выборке.

Сказанное выше позволяет определить те распределения, которые лучше всего описывают распределение вероятностей доходности активов.

Нормальное распределение

Мы отметили в гл. 2, что наиболее широко из распределений частот используется нормальное распределение, или распределение Гаусса. Отсюда вытекает то обстоятельство, что наиболее широко используемым распределением вероятностей является нормальное распределение. Это распределение непрерывное, но часто применяется при моделировании дискретных случайных переменных.

Кривая нормального распределения имеет форму симметричного колокола, как это изображено на рис. 4.3.

Это распределение полностью определяется средней арифметической и средним квадратическим отклонением, что делает этот тип распределения весьма привлекательным. Средняя арифметическая указывает на расположение середины колокола, а среднее квадратическое отклонение показывает, насколько колокол растянут в стороны.

Если переменная подчиняется закону нормального распределения, то 68,27% всех наблюдений попадут в интервал плюс-минус среднее квадратическое отклонение от средней. Более того, 95,45% всех наблюдений попадают в интервал плюс-минус удвоенное среднее квадратическое отклонение и 99,73% - в

пределах плюс-минус утроенное среднее квадратическое отклонение от величины средней.

ц - 2ст ц - la ц ц + 1ст ц + 2ст

Рис. 4.3

Так как кривая нормального распределения по сути является графиком функции нормальной плотности частот, то уравнение, определяющее нормальное распределение, будет:

у= * e-(*-n>Wt (4.25)

0 V27l

где ц - средняя арифметическая распределения; а - среднее квадратическое отклонение; я = 3,1415926; е = 2,71828.

Таким образом, если выражение (4.25) определяется отдельно для всех возможных значений X, то при нанесении полученных точек на график в результате получится нормальная кривая. Мы рассмотрим это более подробно, когда займемся стандартизованными функциями плотности вероятностей.

Центральная предельная теорема

Теоретическое обоснование того, что случайные переменные подчиняются закону нормального распределения, основывается на центральной предельной теореме. Теорема утверждает, что математическое ожидание большого числа независимых выборок